a)

Przez $x$ oznaczmy wysokość trójkąta ABC (oznacza szukaną wysokość samolotu). Wówczas z własności trójkąta BCD widzimy, że odcinkek BD także ma długość $x$ . Natomiast z własności trójkąta ACD wiemy, że $\left|AD\right|=\left|CD\right|\sqrt{3}=x\sqrt{3}$ . Skoro $\left|AB\right|=3$   , to mamy

$x+x\sqrt{3}=3$ ,

$x\left(1+\sqrt{3}\right)=3$ ,

$x=\frac{3}{1+\sqrt{3}}=\frac{3\left(1-\sqrt{3}\right)}{1-3}=$   $\frac{3\left(1-\sqrt{3}\right)}{-2}=\frac{3\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}\approx 1,1km$  

b) Przez x oznaczmy długość odcinka AB (szukana wyskość drzewa). Zuważmy, że kąt przy wierzchołku C w trójkącie ABC także ma miarę 30 stopni (jest to kąt naprzeminaległy do kąta oznaczonego przy podłożu o mierze 30 stopni), natomiast długość odcinka AC wynosi 20 m, zatem z własności trójkąta ABC mamy $x=\left|AB\right|=\frac{1}{2}\left|AC\right|=\frac{1}{2}\cdot 20=10m$

c)  Odcinek CD jest wyskością trójkąta ABC. Z własności trójkąta BCD wiemy, że |CD|=|DB| oraz $\left|CB\right|=\left|CD\right|\sqrt{2}$ , czyli $3=\left|CD\right|\sqrt{2}$   stąd $\left|CD\right|=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ .

Znając długość odcinka CD z własności trójkąta ACD wiemy, że $\left|CD\right|=\left|AD\right|\sqrt{3},$ czyli

$\frac{3\sqrt{2}}{2}=\left|AD\right|\sqrt{3},$ zatem $\left|AD\right|=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{6}}{2}$ .  Stąd $x=2\cdot \frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}.$   Znamy zatem długość $x=\sqrt{6}$

Zatem długość drabiny to $2x=2\sqrt{6}\approx 4,9m$ .

d) Przez $x,y$ oznaczmy odległosci zaczepienia lin od masztu. Zauważmy, że trójkąt BDE jest równoramienny, zatem $x=10,$   bo $\left|BD\right|=10.$ Rozważmy trójkąt ABC. Zauważmy że kąt przy wierzchołku A ma miarę 60 stopni (jest przyległy do kąta 120 stopni) oraz $\left|BC\right|=20$ . Z własności trójkąta ABC wiemy, że $\left|BC\right|=\left|AB\right|\sqrt{3}$ , czyli $20=\left|AB\right|\sqrt{3}.$

Mamy zatem $y=\left|AB\right|=\frac{20}{\sqrt{3}}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\approx 11,5m$