a)

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

$\frac{x+y}{\sqrt{x^4+2x^{3}y+x^2{y}^2}}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2\left(x^2+2xy+y^2\right)}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$=\frac{x+y}{\sqrt{x^2{\left(x+y\right)}^2}}=\frac{x+y}{\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{{\left(x+y\right)}^2}}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$:

$=\frac{x+y}{\left|x\right|\cdot \left|x+y\right|}=$

Wiemy, że $x>0$ i $y>0$, więc $x+y>0$ i zgodnie z definicją wartości bezwzględnej:

$=\frac{x+y}{x\cdot \left(x+y\right)}=\frac{{\cancel{x+y}}^1}{x\cdot {\cancel{\left(x+y\right)}}_1}=\boxed{\frac{1}{x}}$

---

b)

Wiemy, że $x>0$ i $y>0$, więc możemy zapisać, że:

$\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{y}\right)}^2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$:

$=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right){\cancel{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}}^1}{{\cancel{\sqrt{x}+\sqrt{y}}}_1}=\boxed{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$

---

c)

Zauważamy, że:

$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}=\frac{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{y}\right)}^3}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$:

$=\frac{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^2+\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]{y}+{\left(\sqrt[3]{y}\right)}^2\right)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}=\frac{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right)}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}=$

$=\frac{{\cancel{\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}\right)}}^1\left(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}\right)}{{\cancel{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}}_1}=\boxed{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}$

---

d)

Obliczamy:

$\sqrt{2x+2\sqrt{2x-1}}-\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$2x+2\sqrt{2x-1}={\left(\sqrt{2x-1}+1\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$2x-2\sqrt{2x-1}={\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2x-1}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{2x-1}-1\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$:

$=\left|\sqrt{2x-1}+1\right|-\left|\sqrt{2x-1}-1\right|=$

Wiemy, że $x>1$, więc:

$2x>2$

$2x-1>1$

$\sqrt{2x-1}>1$

Czyli:

$\sqrt{2x-1}+1>0$ i $\sqrt{2x-1}-1>0$

Zatem:

$=\sqrt{2x-1}+1-\left(\sqrt{2x-1}-1\right)=\sqrt{2x-1}+1-\sqrt{2x-1}+1=\boxed{2}$