a)

Zacznijmy od przekształcenia lewej strony:

$L=\sqrt{13-4\sqrt{3}}+\sqrt{4\left(7-4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{13-4\sqrt{3}}+2\sqrt{7-4\sqrt{3}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$13-4\sqrt{3}={\left(2\sqrt{3}-1\right)}^2$

$7-4\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}-2\right)}^{2^{}}$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}-1\right)}^2}+2\sqrt{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|2\sqrt{3}-1\right|+2\left|\sqrt{3}-2\right|=$

Zauważamy, że:

$2\sqrt{3}-1>0$, więc $\left|2\sqrt{3}-1\right|=2\sqrt{3}-1$

$\sqrt{3}-2<0$, więc $\left|\sqrt{3}-2\right|=-\left(\sqrt{3}-2\right)=-\sqrt{3}+2=2-\sqrt{3}$

Zatem:

$=2\sqrt{3}-1+2\left(2-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-1+4-2\sqrt{3}=3=P$

Otrzymujemy prawą stronę.

Co należało wykazać.

---

---

b)

Zajmijmy się najpierw lewą stroną:

$L=\sqrt{9-4\sqrt{2}}+1=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$9-4\sqrt{2}={\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2}+1=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|2\sqrt{2}-1\right|+1=$

Zauważamy, że:

$2\sqrt{2}-1>0$, więc $\left|2\sqrt{2}-1\right|=2\sqrt{2}-1$

Zatem:

$=2\sqrt{2}-1+1=\boxed{2\sqrt{2}}$

---

Zajmijmy się teraz prawą stroną:

$P=\frac{4}{\sqrt{2}}=$

Usuwamy niewymierność z mianownika:

$=\frac{4}{\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=\boxed{2\sqrt{2}}$

---

Otrzymujemy, że:

$L=P$

Co należało wykazać.

---

---

c)

Zacznijmy od przekształcenia lewej strony:

$L=\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2\left(\sqrt[4]{5}+1\right)=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$6-2\sqrt{5}={\left(1-\sqrt{5}\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(1-\sqrt{5}\right)}^2}+2\sqrt[4]{5}+2=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|1-\sqrt{5}\right|+2\sqrt[4]{5}+2=$

Zauważamy, że:

$1-\sqrt{5}<0$, więc $\left|1-\sqrt{5}\right|=-\left(1-\sqrt{5}\right)=-1+\sqrt{5}=\sqrt{5}-1$

Zatem:

$=\sqrt{5}-1+2\sqrt[4]{5}+2=1+2\sqrt[4]{5}+\sqrt{5}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$={\left(1+\sqrt[4]{5}\right)}^2=P$

Otrzymujemy prawą stronę.

Co należało wykazać.

---

d)

Zacznijmy od przekształcenia lewej strony:

$L=\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$11-6\sqrt{2}={\left(3-\sqrt{2}\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$11+6\sqrt{2}={\left(3+\sqrt{2}\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|3-\sqrt{2}\right|+\left|3+\sqrt{2}\right|=$

Zauważamy, że:

$3-\sqrt{2}>0$, więc $\left|3-\sqrt{2}\right|=3-\sqrt{2}$

$3+\sqrt{2}>0$, więc $\left|3+\sqrt{2}\right|=3+\sqrt{2}$

Zatem:

$=3-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}=6=P$

Otrzymujemy prawą stronę.

Co należało wykazać.