a)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$:

$\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}=\frac{3}{1+\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{1^2-1\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{1^2-1\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{1^3+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$

$=\frac{3\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{1+2}=\frac{{\cancel{3}}^1\left(1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\right)}{{\cancel{3}}_1}=\boxed{1-\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}}$

---

b)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}-1}\cdot \frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot 1+1^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot 1+1^2}=\frac{1\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-1^3}=$

$=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{3-1}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}{2}=\boxed{\frac{1}{2}\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}$

---

c)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$:

$\frac{2}{2+\sqrt[3]{3}}=\frac{2}{2+\sqrt[3]{3}}\cdot \frac{2^2-2\cdot \sqrt[3]{3}+{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2}{2^2-2\cdot \sqrt[3]{3}+{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2}=\frac{2\left(4-2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)}{2^3+{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3}=$

$=\frac{2\left(4-2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)}{8+3}=\frac{2\left(4-2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)}{11}=\boxed{\frac{2}{11}\left(4-2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)}$

---

d)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów $a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)$:

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}}\cdot \frac{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^2+\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{2}+{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2}=\frac{1\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}\right)}{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3-{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^3}=$

$=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{3-2}=\frac{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{1}=\boxed{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$