a)

Założenia:

$x>0$

$y>0$

Teza:

$2xy\le x^2+y^2$

Dowód:

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny:

$2xy\le x^2+y^2$

$x^2+y^2\ge 2xy|-2xy$

$x^2-2xy+y^2\ge 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$

Zauważmy, że ${\left(x-y\right)}^2$ to kwadrat pewnej liczby rzeczywistej.

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Otrzymana nierówność jest więc prawdziwa.

A to oznacza, że prawdziwa jest również nierówność:

$2xy\le x^2+y^2$

Co należało wykazać.

---

b)

Założenia:

$x>0$

$y>0$

Teza:

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$

Dowód:

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny:

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}|\cdot 2$

$x+y\ge 2\sqrt{xy}|-2\sqrt{xy}$

$x-2\sqrt{xy}+y\ge 0$

Wiemy, że $x>0$ i $y>0$, więc możemy zapisać, że:

$x={\left(\sqrt{x}\right)}^2$

$y={\left(\sqrt{y}\right)}^2$

Czyli:

${\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{xy}+{\left(\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$

${\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\cdot \sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+{\left(\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$

Zauważmy, że ${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2$ to kwadrat pewnej liczby rzeczywistej.

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Otrzymana nierówność jest więc prawdziwa.

A to oznacza, że prawdziwa jest również nierówność:

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$

Co należało wykazać.

---

c)

Założenia:

$x>0$

$y>0$

Teza:

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2$

Dowód:

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny:

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2|\cdot 2xy$

Wiemy, że $x>0$ i $y>0$, więc $2xy>0$:

$\left(\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\right)\cdot 2xy\ge 2\cdot 2xy$

$\frac{2x}{{\cancel{y}}_1}\cdot 2x{\cancel{y}}^1+\frac{y}{{\cancel{2x}}_1}\cdot {\cancel{2x}}^{1}y\ge 4xy$

$4x^2+y^2\ge 4xy|-4xy$

$4x^2-4xy+y^2\ge 0$

${\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot y+y^2\ge 0$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

${\left(2x-y\right)}^2\ge 0$

Zauważmy, że ${\left(2x-y\right)}^2$ to kwadrat pewnej liczby rzeczywistej.

Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną.

Otrzymana nierówność jest więc prawdziwa.

A to oznacza, że prawdziwa jest również nierówność:

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2$

Co należało wykazać.