a)
Obliczamy:
(4−15−4+15)2=
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy (a−b)2=a2−2ab+b2:
=(4−15)2−2⋅4−15⋅4+15+(4+15)2=
=4−15−2⋅(4−15)(4+15)+4+15=
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów a2−b2=(a−b)(a+b):
=8−2⋅42−(15)2=8−2⋅16−15=8−2⋅1=8−2⋅1=8−2=6
b)
Obliczamy:
2(2−22)2+2(2+22)2=
=2⋅(2−22)2+2⋅(2+22)2=
Korzystamy z tego, że a2=∣a∣ i otrzymujemy:
=2⋅2−22+2⋅2+22=
Zauważmy, że:
2−22<0, więc 2−22=−(2−22)=−2+22=22−2
2+22>0, więc 2+22=2+22
Zatem:
=2⋅(22−2)+2(2+22)=2⋅2−22+22+2⋅2=
=4−22+22+4=8
c)
Obliczamy:
[(22−7)21+(22+7)21]2=
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy (a+b)2=a2+2ab+b2:
=[(22−7)21]2+2⋅(22−7)21⋅(22+7)21+[(22+7)21]2=
=(22−7)21⋅2+2⋅[(22−7)(22+7)]21+(22+7)21⋅2=
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów a2−b2=(a−b)(a+b):
=22−7+2⋅[(22)2−(7)2]21+22+7=
=42+2⋅(4⋅2−7)21=42+2⋅(8−7)21=42+2⋅121=
=42+2⋅1=42+2
d)
Obliczamy:
2+12−1−352+752−7=2+12−1−352+7352−7=
Możemy na przykład sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika:
=2+12−1⋅352+7352+7−352+7352−7⋅2+12+1=
=(2+1)⋅352+7(2−1)⋅352+7−352−7⋅(2+1)=
=(2+1)⋅352+73(2−1)3⋅352+7−352−7⋅3(2+1)3=
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia:
- na sześcian różnicy (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3 i zauważamy, że:
(2−1)3=(2)3−3⋅(2)2⋅1+3⋅2⋅12−13=22−6+32−1=52−7
- na sześcian sumy (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 i zauważamy, że:
(2+1)3=(2)3+3⋅(2)2⋅1+3⋅2⋅12+13=22+6+32+1=52+7
Zatem:
=(2+1)⋅352+7352−7⋅352+7−352−7⋅352+7=
=(2+1)⋅352+70=0