a)

Obliczamy:

$\sqrt{7-4\sqrt{3}}+\sqrt{12+6\sqrt{3}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$7-4\sqrt{3}={\left(\sqrt{3}-2\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$12+6\sqrt{3}={\left(3+\sqrt{3}\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2}+\sqrt{{\left(3+\sqrt{3}\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|\sqrt{3}-2\right|+\left|3+\sqrt{3}\right|=$

Zauważamy, że:

$\sqrt{3}-2<0$, więc $\left|\sqrt{3}-2\right|=-\left(\sqrt{3}-2\right)=-\sqrt{3}+2=2-\sqrt{3}$

$3+\sqrt{3}>0$, więc $\left|3+\sqrt{3}\right|=3+\sqrt{3}$

Zatem:

$=2-\sqrt{3}+3+\sqrt{3}=\boxed{5}$

Liczba $5$ jest liczbą wymierną.

Co należało wykazać.

---

b)

Obliczamy:

$\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$11+6\sqrt{2}={\left(\sqrt{2}+3\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$3-2\sqrt{2}={\left(\sqrt{2}-1\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(\sqrt{2}+3\right)}^2}-\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|\sqrt{2}+3\right|-\left|\sqrt{2}-1\right|=$

Zauważamy, że:

$\sqrt{2}+3>0$, więc $\left|\sqrt{2}+3\right|=\sqrt{2}+3$

$\sqrt{2}-1>0$, więc $\left|\sqrt{2}-1\right|=\sqrt{2}-1$

Zatem:

$=\sqrt{2}+3-\left(\sqrt{2}-1\right)=\sqrt{2}+3-\sqrt{2}+1=\boxed{4}$

Liczba $4$ jest liczbą wymierną.

Co należało wykazać.

---

c)

Obliczamy:

$\sqrt{13+4\sqrt{3}}-\sqrt{21-12\sqrt{3}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$13+4\sqrt{3}={\left(2\sqrt{3}+1\right)}^2$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$:

$21-12\sqrt{3}={\left(2\sqrt{3}-3\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(2\sqrt{3}+1\right)}^2}-\sqrt{{\left(2\sqrt{3}-3\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=a$ i otrzymujemy:

$=\left|2\sqrt{3}+1\right|-\left|2\sqrt{3}-3\right|=$

Zauważamy, że:

$2\sqrt{3}+1>0$, więc $\left|2\sqrt{3}+1\right|=2\sqrt{3}+1$

$2\sqrt{3}-3>0$, więc $\left|2\sqrt{3}-3\right|=2\sqrt{3}-3$

Zatem:

$=2\sqrt{3}+1-\left(2\sqrt{3}-3\right)=2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}+3=\boxed{4}$

Liczba $4$ jest liczbą wymierną.

Co należało wykazać.

---

d)

Obliczamy:

$\sqrt{33+20\sqrt{2}}-\sqrt{8\frac{1}{4}+2\sqrt{2}}=$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$:

$33+20\sqrt{2}={\left(5+2\sqrt{2}\right)}^2$

$8\frac{1}{4}+2\sqrt{2}={\left(\frac{1}{2}+2\sqrt{2}\right)}^2$

Zatem:

$=\sqrt{{\left(5+2\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(\frac{1}{2}+2\sqrt{2}\right)}^2}=$

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ i otrzymujemy:

$=\left|5+2\sqrt{2}\right|-\left|\frac{1}{2}+2\sqrt{2}\right|=$

Zauważamy, że:

$5+2\sqrt{2}>0$, więc $\left|5+2\sqrt{2}\right|=5+2\sqrt{2}$

$\frac{1}{2}+2\sqrt{2}>0$, więc $\left|\frac{1}{2}+2\sqrt{2}\right|=\frac{1}{2}+2\sqrt{2}$

Zatem:

$=5+2\sqrt{2}-\left(\frac{1}{2}+2\sqrt{2}\right)=5+2\sqrt{2}-\frac{1}{2}-2\sqrt{2}=4\frac{1}{2}$

Liczba $4\frac{1}{2}$ jest liczbą wymierną.

Co należało wykazać.