Na rysunku wykres „przykleja się” z lewej strony do prostej poziomej $y=-2$, więc asymptota ma równanie $y=b=-3$.

a)

Wyznaczenie $a$ i $b$

Zauważmy, że dla $f(x)=2^{x+a}+b$ asymptotą poziomą jest $y=b$.

1) Z wykresu: asymptota pozioma to $y=-3$, więc $b=-3$.

2) Teraz odczytujemy z wykresu miejsce dowolnego punktu, np.: $\left(2,-1\right)$. Podstawiamy współrzędne tego punktu do wzoru funkcji.

$f\left(2\right)=-1$

Czyli:

$2^{2+a}-3=-1$

$2^{2+a}=2$

$2^{2+a}=2^1$

$2+a=1$

$a=-1$

Ostatecznie: $a=-1$, $b=-3$, czyli $f(x)=2^{x-1}-3$.

---

b)

Rozwiązanie równania $f(x)+f(x+1)=0$

Najpierw zapisujemy $f(x)$ oraz $f(x+1)$: 

$f(x)=2^{x-1}-3$, 

$f(x+1)=2^{(x+1)-1}-3=2^x-3$.

Chcemy rozwiązać równanie:

$f\left(x\right)+f\left(x+1\right)=0$

$f\left(x\right)=-f\left(x+1\right)$

Narysujmy wykresu obu funkcji w układzie współrzędnych:

Wykresy przecinają się w punkcie $\left(2,0\right)$ - czyli rozwiązaniem równania jest:

$x=2$

---

c)

Rozwiązanie nierówności $(f(x)-1)(f(x)+2)\le 0$

$f\left(x\right)-1=2^{x-1}-3-1=2^{x-1}-4$

$f\left(x\right)+2=2^{x-1}-3+2=2^{x-1}-1$

Aby iloczyn był niedodatni, czynniki muszą mieć różne znaki (lub któryś z czynników musi być równy $0$).

Naszkicujmy wykresy tych funkcji:

Nierówność jest  spełniona dla

$x\in ⟨1,3⟩$