Rozwiązując zadania, korzystamy z własności funkcji wykładniczej:

• jeżeli $0<a<1$, to funkcja $a^x$ jest malejąca – większy wykładnik daje mniejszą wartość,
• jeżeli $a>1$, to funkcja $a^x$ jest rosnąca – większy wykładnik daje większą wartość,
• przy porównywaniu potęg o tej samej podstawie wystarczy porównać wykładniki (z uwzględnieniem, czy podstawa jest mniejsza czy większa od 1).

a)

Mamy liczby:

 ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2,5},{\left(\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{5}},{\left(\frac{1}{6}\right)}^{2\frac{1}{5}}$

Ponieważ $\frac{1}{6}<1$, funkcja jest malejąca.

Porównujemy wykładniki:

 $2,5>2\frac{1}{5}>\frac{2}{5}$

Dla podstawy mniejszej od $1$ największy wykładnik daje najmniejszą wartość.

Kolejność rosnąca:

${\left(\frac{1}{6}\right)}^{2,5}<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{2\frac{1}{5}}<{\left(\frac{1}{6}\right)}^{\frac{2}{5}}$

---

b)

Liczby: $$0,7^{0,78},0,7^{0,88},0,7^{0,77}$$$0,7^{0,78},0,7^{0,88},0,7^{0,77}$

Ponieważ $0,7<1$, funkcja jest malejąca.

Porównujemy wykładniki: $0,88>0,78>0,77$

Zatem: $0,7^{0,88}<0,7^{0,78}<0,7^{0,77}$

---

c)

Liczby: ${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{\frac{3}{2}},{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{\frac{2}{3}},{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{0,9}$

Najpierw sprawdzamy podstawę: $\frac{2}{\sqrt{5}}\approx \frac{2}{2,236}\approx 0,894<1$

Funkcja jest malejąca.

Porównujemy wykładniki: $$\frac{3}{2}=1,5,0,9,\frac{2}{3}\approx 0,67$$$\frac{3}{2}=1,5,0,9,\frac{2}{3}\approx 0,67$

$1,5>0,9>0,67$

Zatem: ${\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{\frac{3}{2}}<{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{0,9}<{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}^{\frac{2}{3}}$

---

d)

Liczby: ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,011},{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,101},{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,0011},{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,0101},{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,1001}$

Ponieważ $\frac{2}{3}<1$, funkcja jest malejąca.

Porządkujemy wykładniki rosnąco: $0,0011<0,0101<0,011<0,1001<0,101$

Dla podstawy mniejszej od $1$ kolejność wartości jest odwrotna do kolejności wykładników.

Kolejność rosnąca:

 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,101}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,1001}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,011}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,0101}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{0,0011}$

---

e)

Liczby: 

${\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\sqrt{0,9}},{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{0,3},{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\sqrt{0,81}},{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\frac{1}{3}},{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}$

Podstawa: 

$\sqrt{0,9}<1$

Funkcja malejąca.

Porównujemy wykładniki:

$\sqrt{0,9},0,3=\sqrt{0,09},\sqrt{0,81},\frac{1}{3}=\sqrt{\frac{1}{9}},\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{\frac{1}{3}}$ 

Rosnąco: 

$0,3<\frac{1}{3}<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sqrt{0,81}<\sqrt{0,9}$

Szeregujemy liczby rosnąca:

${\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\sqrt{0,9}}<{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\sqrt{0,81}}<{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\frac{\sqrt{3}}{3}}<{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{\frac{1}{3}}<{\left(\sqrt{0,9}\right)}^{0,3}$

---

f)

Liczby: 

$0,3^{-1,2},0,3^{-1,8},0,3^{-1\frac{1}{2}},0,3^{-1,(3)},0,3^{-1,33}$

Ponieważ $0,3<1$, funkcja jest malejąca.

Porównujemy wykładniki (pamiętamy, że wszystkie są ujemne):

$-1,8<-1\frac{1}{2}<-1,(3)=-\frac{4}{3}\approx -1,333<-1,33<-1,2$

Dla podstawy mniejszej od $1$ kolejność wartości jest odwrotna:

$0,3^{-1,2}<0,3^{-1,33}<0,3^{-1,(3)}<0,3^{-1\frac{1}{2}}<0,3^{-1,8}$