Własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{R}$ zachodzi:
1.  $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$   (nierówność trójkąta)
2.  $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$

Przykład 8. Udowodnij, że jeśli liczby rzeczywiste $x$, $y$, $z$ spełniają nierówności
$\left|x+y\right|\le \left|z\right|$, $\left|y+z\right|\le \left|x\right|$ i $\left|z+x\right|\le \left|y\right|$, to $x+y+z=0$.

Lewa i prawa strona każdej założonej nierówności jest nieujemna, możemy więc je podnieść do kwadratu. Dla pierwszej nierówności dostaniemy:

${\left(x+y\right)}^2\le z^2$
${\left(x+y\right)}^2-z^2\le 0$
$\left(\left(x+y\right)+z\right)\left(\left(x+y\right)-z\right)\le 0$
$\left(x+y+z\right)\left(x+y-z\right)\le 0\left(1\right)$

Postępując podobnie z dwoma pozostałymi założeniami wywnioskujemy, że:

$\left(x+y+z\right)\left(x-y+z\right)\le 0\left(2\right)$  oraz  $\left(x+y+z\right)\left(-x+y+z\right)\le 0\left(3\right)$