Wybrane własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnych $x,y\in \mathbb{R}$ zachodzi:
1.  $\left|x-y\right|=\left|y-x\right|$
2.  $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$
3.  $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|},y\ne 0$
4.  $\left|x\right|=\left|y\right|⟺x=y\vee x=-y$
5.  $x^2=y^2⟺\left|x\right|=\left|y\right|$

Przykład 6. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:

a)  $\left|x-3\right|-\left|3-x\right|=\left|x-3\right|-\left|x-3\right|=0$

b)  $\left|\frac{5x-25}{7}\right|\cdot \left|\frac{14}{5-x}\right|,x\ne 5$
     $\left|\frac{5x-25}{7}\right|\cdot \left|\frac{14}{5-x}\right|=\frac{\left|5x-25\right|}{{\cancel{7}}_1}\cdot \frac{{\cancel{14}}^2}{\left|5-x\right|}=\frac{\left|5\cdot \left(x-5\right)\right|}{1}\cdot \frac{2}{\left|x-5\right|}=5\bcancel{\left|x-5\right|}\cdot \frac{2}{\bcancel{\left|x-5\right|}}=10$

c)  $\sqrt{x^2+6x+9}+\left|-x\right|-\left|-2x-6\right|,x\le -3$
     $\sqrt{x^2+6x+9}+\left|-x\right|-\left|-2x-6\right|=\sqrt{{\left(x+3\right)}^2}+\left|x\right|-\left|-2\left(x+3\right)\right|=\left|x+3\right|-x-2\left|x+3\right|=$
      $=-\left|x+3\right|-x=x+3-x=3$