Wybrane własności wartości bezwzględnej
Dla dowolnego $x\in \mathbb{R}$ zachodzi:
1. $\left|x\right|\ge 0$
2. $\left|-x\right|=\left|x\right|$
3. ${\left|x\right|}^2=x^2$
4. $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$
Przykład 4. Doprowadź wyrażenie $\sqrt{x^2-6\sqrt{x^2-3x+\frac{9}{4}}}$ do najprostszej postaci dla $x\ge 3$.
$\sqrt{x^2-6\sqrt{x^2-3x+\frac{9}{4}}}=\sqrt{x^2-6\sqrt{{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2}}=\sqrt{x^2-6\left|x-\frac{3}{2}\right|}=\sqrt{x^2-6\left(x-\frac{3}{2}\right)}=$
$=\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|=x-3$

Przykład 5. Oblicz $\sqrt{18-8\sqrt{2}}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}$. $18-8\sqrt{2}=16-2\cdot 4\cdot \sqrt{2}+2={\left(4-\sqrt{2}\right)}^2$ $6-4\sqrt{2}=4-2\cdot 2\cdot \sqrt{2}+2={\left(2-\sqrt{2}\right)}^2$	${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$ $a^2+b^2=18-2ab=-8\sqrt{2}\to ab=4\sqrt{2}$ $a=4b=\sqrt{2}$
$\sqrt{{\left(4-\sqrt{2}\right)}^2}-\sqrt{{\left(2-\sqrt{2}\right)}^2}=\left|4-\sqrt{2}\right|-\left|2-\sqrt{2}\right|=4-\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=2$