2- Zadanie 2: Kurs maturalny z matematyki rozszerzonej

Rozwiązanie

Przykład 2. Uwzględnij podane założenie i doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie:

a) $∣ x + 2 ∣ - ∣ x - 4 ∣, x \in (4, \infty)$
$∣ x + 2 ∣ \overset{◯}{+} - ∣ x - 4 ∣ \overset{◯}{+} = x + 2 - (x - 4) = x + 2 - x + 4 = 6$

b) $∣ x + 2 ∣ - ∣ x - 4 ∣, x \in [- 2, 4]$
$∣ x + 2 ∣ \overset{◯}{+} - ∣ x - 4 ∣ \overset{◯}{-} = x + 2 + (x - 4) = x + 2 + x - 4 = 2 x - 2$

c) $∣ x + 2 ∣ - ∣ x - 4 ∣, x \in (- \infty, - 2)$
$∣ x + 2 ∣ \overset{◯}{-} - ∣ x - 4 ∣ \overset{◯}{-} = - (x + 2) + (x - 4) = - x - 2 + x - 4 = - 6$

Przykład 3. Uzasadnij, że dla $x \in (\frac{1}{4}, \frac{4}{3})$ wartość wyrażenia $3 x + 1 + 5 x + \frac{1}{5} - 2 ∣ 4 x - 1 ∣ \frac{1}{5}$ jest stała.

$3 x + 1 + 5 x + \frac{1}{5} - 2 ∣ 4 x - 1 ∣ \frac{1}{5} 000000 \overset{◯}{+} 000000000 \overset{◯}{+} = 3 x + 1 + 5 (x + \frac{1}{5}) - 2 (4 x - 1) =$
$= 3 x + ∣ 1 + 5 x + 1 - 8 x + 2 ∣ = 3 x + ∣ 4 - 3 x ∣ \overset{◯}{+} = 3 x + 4 - 3 x = 4 \leftarrow$ stała, niezależna od $x$