Dane jest wyrażenie ${\left(a+b\right)}^n$ dla pewnego $n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Po podzieleniu współczynnika stojącego przy wyrazie $a^{n-3}{b}^3$ przez współczynnik przy wyrazie $a^{n-1}b$ otrzymamy $9\frac{1}{3}$.
Oblicz $\mathbf{n}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

${\left(a+b\right)}^n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0}\right)a^n+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)a^{n-1}b+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)a^{n-2}{b}^2+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)a^{n-3}{b}^3+\dots +\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}\right)b^n$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=n$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right)=\frac{n!}{3!\cdot \left(n-3\right)!}=\frac{\left(n-3\right)!\cdot \left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \left(n-3\right)!}=\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{6}$

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}\right):\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}\right)=\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{6}:n=\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)n}{6n}=\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}{6}$

$\frac{\left(n-2\right)\left(n-1\right)}{6}=9\frac{1}{3}|\cdot 6$

$n^2-n-2n+2=\frac{28}{3}\cdot 6$