Usuwanie niewymierności z mianownika

Przykład 3. Usuń niewymierność z mianownika podanego ułamka.

a) $\frac{5-\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{5-\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{\left(5-\sqrt{5}\right)\cdot \sqrt{5}}{4\cdot 5}=\frac{5\sqrt{5}-5}{20}=\frac{5\left(\sqrt{5}-1\right)}{20}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

b) $\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{5}\cdot \left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}=$
     $=\frac{3\cdot 5-3\sqrt{10}}{5-2}=\frac{15-3\sqrt{10}}{3}=\frac{3\left(5-\sqrt{10}\right)}{3}=5-\sqrt{10}$

c) $\frac{4}{\sqrt[3]{3}-1}=\frac{4}{\sqrt[3]{3}-1}\cdot \frac{\sqrt[3]{3^{{}^2}}+\sqrt[3]{3}+1}{\sqrt[3]{3^{{}^2}}+\sqrt[3]{3}+1}=\frac{4\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}{\sqrt[3]{3^3}-1^3}=\frac{4\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}{3-1}=$
    $=\frac{4\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)}{2}=2\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1\right)$