$x=4-2\sqrt{2}$

$y=\frac{4x-8}{x-4}$           $\to$    $y=\frac{4\left(4-2\sqrt{2}\right)-8}{4-2\sqrt{2}-4}=\frac{16-8\sqrt{2}-8}{-2\sqrt{2}}=\frac{8-8\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}}=-\frac{4}{\sqrt{2}}+4=4-2\sqrt{2}$

$z=4-\left(x+y\right)$    $\to$    $z=4-2\left(4-2\sqrt{2}\right)=4-8+4\sqrt{2}=4\sqrt{2}-4$

$P(x)=\frac{xy}{2}$           $\to$    $P(4-2\sqrt{2})=\frac{{\left(4-2\sqrt{2}\right)}^2}{2}=\frac{16-16\sqrt{2}+8}{2}=\frac{24-16\sqrt{2}}{2}=12-8\sqrt{2}$

Odp.: Trójkąt $ABC$ ma największe pole dla boków długości $4-2\sqrt{2}$, $4-2\sqrt{2}$  i  $4\sqrt{2}-4$.
           Pole to wynosi $12-8\sqrt{2}$.