Szeregiem geometrycznym nazywamy nieskończoną sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego $(a_n)$:

$a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots$

Powiemy, że szereg geometryczny jest zbieżny wtedy, gdy powyższa suma istnieje.

Przykłady

• $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\dots$, czylisumawyrazówciąguo wzorze $a_n={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$, istnieje i jest równa $2$.
• $1+2+4+8+\dots$, czyli suma wyrazów ciągu o wzorze $a_n=2^n$, nie istnieje.

Twierdzenie o zbieżności szeregu geometrycznego

Szereg geometryczny $a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+\dots$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|q\right|<1$.
Jeżeli szereg geometryczny jest zbieżny, to jego suma $S$ dana jest wzorem

$S=\frac{a_1}{1-q}$