$(1)\Delta >0$
      ${\left(-\left(3m+1\right)\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(2m^2+m+1\right)>0$
      ${\left(3m+1\right)}^2-8m^2-4m-4>0$
      $9m^2+6m+1-8m^2-4m-4>0$
      $m^2+2m-3>0$
      ${\Delta }_m=2^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=4+12=16$
      $\sqrt{{\Delta }_m}=4$
      $m_1=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$
      $m_2=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$

$m\in \left(-\infty ,-3\right)\cup \left(1,\infty \right)$

$(2)x_1^3+x_2^3+3\cdot x_1\cdot x_2\cdot \left(x_1+x_2-3\right)\le 3m-7$