Rozłóż na czynniki wyrażenie...- Zadanie 1.4: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Wzory skróconego mnożenia

Dla każdych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwe są wzory:

$(1) (a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ (kwadrat sumy)

$(2) (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ (kwadrat różnicy)

$(3) a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ (różnica kwadratów)

$(4) (a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ (sześcian sumy)

$(5) a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ (różnica sześcianów)

Podane wyrażenia rozłożymy na czynniki, stosując odpowiednie wzory z powyższej ramki.

$x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)$

$x^{2} - 3 = x^{2} - (3)^{2} = (x - 3) (x + 3)$

$4 x^{2} - 1 = (2 x)^{2} - 1^{2} = (2 x)^{2} - 1 = (2 x - 1) (2 x + 1)$

$9 - 2 x^{2} = 3^{2} - (2 x)^{2} = (3 - 2 x) (3 + 2 x)$

$x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 2 \cdot 3 \cdot x + 3^{2} = (x + 3)^{2}$

$25 x^{2} - 20 x + 4 = (5 x)^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 5 x + 2^{2} = (5 x - 2)^{2}$

$(3 x + 4)^{2} - 4 = (3 x + 4)^{2} - 2^{2} = ((3 x + 4) + 2) ((3 x + 4) - 2) =$

$= (3 x + 6) (3 x + 2) = 3 (x + 2) (3 x + 2)$

Zastosujemy wzór na różnicę kwadratów liczb $(x^{2} + x - 4)$ oraz $(x + 5) .$

$(x^{2} + x - 4)^{2} - (x + 5)^{2} = ((x^{2} + x - 4) + (x + 5)) ((x^{2} + x - 4) - (x + 5)) =$

$= (x^{2} + x - 4 + x + 5) (x^{2} + x - 4 - x - 5) = (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 9) =$

Następnie zastosujemy wzór na kwadrat sumy w pierwszym nawiasie oraz wzór na różnicę kwadratów w drugim nawiasie.

$\dots = (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1) (x^{2} - 9) = (x + 1)^{2} (x - 3) (x + 3)$

$a^{4} - b^{4} = (a^{2})^{2} - (b^{2})^{2} = (a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) = (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2})$

$a^{2} + b^{2} - c^{2} - 2 ab = a^{2} - 2 ab + b^{2} - c^{2} = (a - b)^{2} - c^{2} = (a - b - c) (a - b + c)$

$x^{3} - 8 = x^{3} - 2^{3} = (x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}) = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

$a^{3} + 1 = (a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2}) = (a + 1) (a^{2} - a + 1)$

$(x + 1)^{3} - (x - 1)^{3} = ((x + 1) - (x - 1)) ((x + 1)^{2} + (x + 1) (x - 1) + (x - 1)^{2}) =$

$= (x + 1 - x + 1) (x^{2} + 2 x + 1 + x^{2} - 1 + x^{2} - 2 x + 1) = 2 (3 x^{2} + 1)$

$a^{4} + b^{4} = a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2} - 2 a^{2} b^{2} = (a^{2} + b^{2})^{2} - 2 a^{2} b^{2} = (a^{4} + 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) - 2 a^{2} b^{2} =$

$= (a^{2} + b^{2})^{2} - (2 ab)^{2} = (a^{2} + b^{2} - 2 ab) (a^{2} + b^{2} + 2 ab)$

Katarzyna Nowocień

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zastosowania wzorów skróconego mnożenia stopnia 2

Premium

13:07

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wzory skróconego mnożenia stopnia 2

13:31

Zobacz lekcję

Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Premium

12:06

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.