Rozłóż na czynniki wielomian W(x), wiedząc...- Zadanie 1.8: Matura z matematyki 2023-2024. Poziom podstawowy i rozszerzony. Część I

Rozwiązanie

Wiemy, że liczba $p = 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ , zatem z twierdzenia Bézouta wynika, że $x - 1$ dzieli wielomian $W$ .

Wykonamy to dzielenie np. za pomocą schematu Hornera:

	$1$	$4$	$1$	$- 6$
$1$	$1$	$5$	$6$	$0$

Powyższy wielomian możemy zatem zapisać w postaci

$W (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = (x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)$

Rozłóżmy na czynniki trójmian $x^{2} + 5 x + 6$ .

$Δ = 5^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$Δ = 1$

$x_{1} = \frac{- 5 - 1}{2 \cdot 1} = \frac{- 6}{2} = - 3$

$x_{2} = \frac{- 5 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{- 4}{2} = - 2$

Z tego wynika, że

$x^{2} + 5 x + 6 = (x + 3) (x + 2)$

Zatem

$W (x) = x^{3} + 4 x^{2} + x - 6 = (x - 1) (x + 3) (x + 2)$

Wiemy, że liczba $p = - 3$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) = x^{3} + x^{2} - 7 x - 3$ , zatem z twierdzenia Bézouta wynika, że $x + 3$ dzieli wielomian $W$ .

Wykonamy to dzielenie np. za pomocą schematu Hornera:

	$1$	$1$	$- 7$	$- 3$
$- 3$	$1$	$- 2$	$- 1$	$0$

Powyższy wielomian możemy zatem zapisać w postaci

$W (x) = x^{3} + x^{2} - 7 x - 3 = (x + 3) (x^{2} - 2 x - 1)$

Rozłóżmy na czynniki trójmian $x^{2} - 2 x - 1$ .

$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8$

$Δ = 8$

$x_{1} = \frac{2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4 \cdot 2}{2} = \frac{2 - 2 2}{2} = \frac{2 ( 1 - 2 )}{2} = 1 - 2$

$x_{1} = \frac{2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4 \cdot 2}{2} = \frac{2 + 2 2}{2} = \frac{2 ( 1 + 2 )}{2} = 1 + 2$

Z tego wynika, że

$x^{2} - 2 x - 1 = (x - (1 - 2)) (x - (1 + 2))$

Zatem

$W (x) = x^{3} + x^{2} - 7 x - 3 = (x + 3) (x - (1 - 2)) (x - (1 + 2))$

Po uproszczeniu wyrażeń w nawiasach otrzymujemy

$W (x) = (x + 3) (x - 1 + 2) (x - 1 - 2)$

Wiemy, że liczba $p = 0, 5$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3$ , zatem z twierdzenia Bézouta wynika, że $x - 0, 5$ dzieli wielomian $W$ .

Wykonamy to dzielenie np. za pomocą schematu Hornera:

	$4$	$4$	$3$	$- 3$
$0, 5$	$4$	$6$	$6$	$0$

Powyższy wielomian możemy zatem zapisać w postaci

$W (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3 = (x - 0, 5) (4 x^{2} + 6 x + 6)$

Zauważmy, że trójmian $4 x^{2} + 6 x + 6$ nie jest rozkładalny, gdyż

$Δ = 6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 36 - 96 = - 60 < 0$

Zatem

$W (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3 = (x - 0, 5) (4 x^{2} + 6 x + 6)$

Po wyłączeniu liczby $2$ w drugim nawiasie, a następnie wymnożeniu pierwszego nawiasu przez $2$ otrzymujemy:

$W (x) = 4 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 3 = (x - 0, 5) \cdot 2 (2 x^{2} + 2 x + 2) = (2 x - 1) (2 x^{2} + 2 x + 2)$

Wiemy, że liczba $p = 2$ jest pierwiastkiem wielomianu $W (x) = 9 x^{4} - 12 x^{3} - 11 x^{2} - 2 x$ , zatem z twierdzenia Bézouta wynika, że $x - 2$ dzieli wielomian $W$ .