Zapisz wyrażenie w postaci sumy algebraicznej...- Zadanie 8: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory:

$1 . (a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ - sześcian sumy

$2 . (a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ - sześcian różnicy

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy i otrzymujemy:

$(x + 1)^{3} + (x + 2)^{3} = 1 . x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^{2} + 1^{3} + x^{3} + 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} + 2^{3} =$

$= x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 + x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8 = \dots$

redukujemy wyrazy podobne i mamy:

$\dots = \underline{\underline{2 x^{3} + 9 x^{2} + 15 x + 9}}$

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy i otrzymujemy:

$(x - 2)^{3} + (x - 3)^{3} = 2 . x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^{2} - 2^{3} + x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^{2} - 3^{3} =$

$= x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8 + x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27 = \dots$

redukujemy wyrazy podobne i mamy:

$\dots = \underline{\underline{2 x^{3} - 15 x^{2} + 39 x - 35}}$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy i sześcian różnicy i otrzymujemy:

$(2 x - 1)^{3} - (2 x + 1)^{3} = 1, 2 .$

$= (2 x)^{3} - 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} - 1^{3} - ((2 x)^{3} + 3 \cdot (2 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 2 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) =$

$= 8 x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 6 x - 1 - (8 x^{3} + 3 \cdot 4 x^{2} + 6 x + 1) =$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1 - 8 x^{3} - 12 x^{2} - 6 x - 1 = \dots$

redukujemy wyrazy podobne i mamy:

$\dots = \underline{\underline{- 24 x^{2} - 2}}$

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy i sześcian różnicy i otrzymujemy:

$(3 x + 2)^{3} - (3 x - 1)^{3} = 1, 2 .$

$= (3 x)^{3} + 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 3 x \cdot 2^{2} + 2^{3} - ((3 x)^{3} - 3 \cdot (3 x)^{2} \cdot 1 + 3 \cdot 3 x \cdot 1^{2} - 1^{3})$