Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

a)

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

$\frac{6}{3-2\sqrt{3}}=\frac{6}{3-2\sqrt{3}}\cdot \frac{3+2\sqrt{3}}{3+2\sqrt{3}}=\frac{6\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}{\left(3-2\sqrt{3}\right)\left(3+2\sqrt{3}\right)}\stackrel{3.}{=}\frac{6\cdot \left(3+2\sqrt{3}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^2}=$  

$=\frac{6\left(3+2\sqrt{3}\right)}{9-4\cdot 3}=\frac{{\sout{6}}^2\left(3+2\sqrt{3}\right)}{-{\sout{3}}_1}=\underline{\underline{-2\left(3+2\sqrt{3}\right)}}$  

---

b)

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów

$\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}\cdot \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}\cdot \left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}\stackrel{3.}{=}$  

$=\frac{\sqrt{6}\cdot \left(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{{\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{18}-\sqrt{12}}{4\cdot 3-2}=\frac{2\cdot 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{10}=$  

$=\frac{\sout{2}\left(3\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{{\sout{10}}_5}=\underline{\underline{\frac{3\sqrt{2}-\sqrt{3}}{5}}}$  

---

c)

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Niewymierność usuniemy w dwóch etapach:

I etap:

$\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-1}=\frac{2}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)-1}\cdot \frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+1}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)+1}\stackrel{3.}{=}\frac{2\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2-1^2}=\dots$  

korzystamy w mianowniku ułamka ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{1.}{=}\frac{2\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)}{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2-1}=$  

$=\frac{2\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)}{2+2\sqrt{6}+3-1}=\frac{2\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)}{4+2\sqrt{6}}=\frac{{\sout{2}}^1\cdot \left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)}{{\sout{2}}_1\left(2+\sqrt{6}\right)}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{6}}\dots$  

II etap:

$\dots =\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}{2+\sqrt{6}}\cdot \frac{2-\sqrt{6}}{2-\sqrt{6}}\stackrel{3.}{=}\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}+1\right)\left(2-\sqrt{6}\right)}{2^2-{\left(\sqrt{6}\right)}^2}=$  

$=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{12}+2\sqrt{3}-\sqrt{18}+2-\sqrt{6}}{4-6}=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{3}+2\sqrt{3}-3\sqrt{2}+2-\sqrt{6}}{-2}=$  

$=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}+2}{-2}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}-2}{2}}}$  

---

d)

Aby usunąć niewymierność z mianownika ułamka, korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Niewymierność usuniemy w dwóch etapach:

I etap:

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+2}=\frac{1}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)+2}\cdot \frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-2}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)-2}\stackrel{3.}{=}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-2}{{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}^2-2^2}=\dots$  

korzystamy w mianowniku ułamka ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy:

$\dots \stackrel{1.}{=}\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+2\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-4}=$  

$=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-2}{3+2\sqrt{6}+2-4}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-2}{2\sqrt{6}+1}\dots$  

II etap:

$\dots =\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-2}{2\sqrt{6}+1}\cdot \frac{2\sqrt{6}-1}{2\sqrt{6}-1}\stackrel{3.}{=}\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{6}-1\right)}{{\left(2\sqrt{6}\right)}^2-1^2}=$  

$=\frac{2\sqrt{18}-\sqrt{3}+2\sqrt{12}-\sqrt{2}-4\sqrt{6}+2}{4\cdot 6-1}=$  

$=\frac{2\cdot 3\sqrt{2}-\sqrt{3}+2\cdot 2\sqrt{3}-\sqrt{2}-4\sqrt{6}+2}{23}=\underline{\underline{\frac{2+5\sqrt{2}+3\sqrt{3}-4\sqrt{6}}{23}}}$