Z sześcianu o krawędzi...- Zadanie 11: Nowa teraz matura. Zbiór zadań maturalnych. Poziom rozszerzony

Rozwiązanie

Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory:

$1 . (a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ - kwadrat sumy

$2 . (a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ - sześcian sumy

$3 . (a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$ - sześcian różnicy

Objętość sześcianu wyraża się wzorem: $V = a^{3}$

Pole powierzchni całkowitej sześcianu wyraża się wzorem: $P_{p} = 6 a^{2}$

gdzie a jest długością krawędzi sześcianu

Rozważamy sześcian o krawędzi $a = 3 + 2$

Z sześcianu odcięto osiem narożników, które są sześcianami o krawędzi $b = 3 - 2$

Obliczamy objętość otrzymanej bryły.

Ze wzoru na objętość sześcianu otrzymujemy, że objętość dużego (pierwotnego) sześcianu jest równa

$V_{1} = a^{3} = (3 + 2)^{3} = 2 . (3)^{3} + 3 \cdot (3)^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 3 \cdot (2)^{2} + (2)^{3} =$

$= 33 + 3 \cdot 3 \cdot 2 + 33 \cdot 2 + 22 = 33 + 92 + 63 + 22 = 93 + 112$

Z kolei objętość pojedynczego narożnika jest równa

$V_{2} = b^{3} = (3 - 2)^{3} = 3 . (3)^{3} - 3 \cdot (3)^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 3 \cdot (2)^{2} - (2)^{3} =$

$= 33 - 3 \cdot 3 \cdot 2 + 33 \cdot 2 - 22 = 33 - 92 + 63 - 22 = 93 - 112$

Objętość bryły obliczamy odejmując od objętości dużego sześcianu objętość ośmiu narożników:

$V = V_{1} - 8 V_{2} = 93 + 112 - 8 \cdot (93 - 112) =$

$= 93 + 112 - 723 + 882 = \underline{\underline{992 - 633}}$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej powstałej bryły.

Zauważmy, że pole powierzchni całkowitej powstałej bryły jest równe polu powierzchni całkowitej wyjściowego sześcianu. Wynika to z faktu, że gdybyśmy przesunęli ściany otrzymanych wnęk do zewnętrznej części dużego sześcianu, to powstałby nam znowu cały sześcian. Ze wzoru na pole powierzchni całkowitej sześcianu otrzymujemy:

$P_{p} = 6 a^{2} = 6 \cdot (3 + 2)^{2} = 1 . 6 \cdot ((3)^{2} + 2 \cdot 3 \cdot 2 + (2)^{2}) =$