Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

a)

  ${\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}-\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)}^2=\dots$   

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy: 

$\dots \stackrel{2.}{=}{\left(\sqrt{4-\sqrt{15}}\right)}^2-2\cdot \sqrt{4-\sqrt{15}}\cdot \sqrt{4+\sqrt{15}}+{\left(\sqrt{4+\sqrt{15}}\right)}^2=$  

$4\cancel{-\sqrt{15}}-2\sqrt{\left(4-\sqrt{15}\right)\left(4+\sqrt{15}\right)}+4+\cancel{\sqrt{15}}=\dots$  

stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i mamy:

$\dots \stackrel{3.}{=}8-2\sqrt{4^2-{\left(\sqrt{15}\right)}^2}=8-2\sqrt{16-15}=8-2\sqrt{1}=8-2=\underline{\underline{6}}$  

---

b)

$\sqrt{2{\left(2-2\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{2{\left(2+2\sqrt{2}\right)}^2}=\dots$  

korzystamy z praw działań na pierwiastkach i otrzymujemy:

$\sqrt{2}\cdot \sqrt{{\left(2-2\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{2}\cdot \sqrt{{\left(2+2\sqrt{2}\right)}^2}=\dots$  

stosujemy własność wartości bezwzględnej:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|,a\in \mathbb{R}$

  $\dots =\sqrt{2}\cdot \left|\underset{\left(-\right)}{\underbrace{2-2\sqrt{2}}}\right|+\sqrt{2}\cdot \left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{2+2\sqrt{2}}}\right|=\dots$   

korzystamy z definicji wartości bezwzględnej i w ten sposób dostajemy

$\dots =\sqrt{2}\left(-\left(2-2\sqrt{2}\right)\right)+\sqrt{2}\left(2+2\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\left(-2+2\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}=\underline{\underline{8}}$  

---

c)

${\left[{\left(2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^2=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy i otrzymujemy:

${\left({\left(2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2+2\cdot {\left(2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left({\left(2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)}^{\frac{1}{2}}\right)}^2=\dots$  

stosujemy prawa działań na potęgach:

  $\dots =2\sqrt{2}-\sqrt{7}+2{\left[\left(2\sqrt{2}-\sqrt{7}\right)\left(2\sqrt{2}+\sqrt{7}\right)\right]}^{\frac{1}{2}}+2\sqrt{2}+\sqrt{7}=\dots$

ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dostajemy:

   $\dots =4\sqrt{2}+2{\left[{\left(2\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{7}\right)}^2\right]}^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}+2\cdot {\left(8-7\right)}^{\frac{1}{2}}=4\sqrt{2}+2\cdot 1^{\frac{1}{2}}=\underline{\underline{4\sqrt{2}+2}}$  

---

d)

  $\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\left(\sqrt{11}+6\sqrt{2}\right)=\dots$

zauważmy, że korzystając ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy otrzymujemy

• $11-6\sqrt{2}=9+2-6\sqrt{2}=3^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}=$  

$=3^2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(3-\sqrt{2}\right)}^2$  

• $11+6\sqrt{2}=9+2+6\sqrt{2}=3^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}=$  

$=3^2+2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+{\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(3+\sqrt{2}\right)}^2$  

Stąd

$\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{11+6\sqrt{2}}=\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+\sqrt{{\left(3+\sqrt{2}\right)}^2}=\dots$  

stosujemy własność wartości bezwzględnej:

$\sqrt{a^2}=\left|a\right|,a\in \mathbb{R}$

  $\dots =\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{3-\sqrt{2}}}\right|+\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{3+\sqrt{2}}}\right|=3-\sqrt{2}+3+\sqrt{2}=\underline{\underline{6}}$