Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia: Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$   - sześcian sumy $2.{\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$   - sześcian różnicy

---

a)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy:

${\left(1+\sqrt{3}\right)}^3\stackrel{1.}{=}{1}^3+3\cdot 1^2\cdot \sqrt{3}+3\cdot 1\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^3=$

$=1+3\sqrt{3}+3\cdot 3+3\sqrt{3}=\underline{\underline{10+6\sqrt{3}}}$  

---

b)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy:

    ${\left(2+\sqrt{3}\right)}^3\stackrel{1.}{=}{2}^3+3\cdot 2^2\cdot \sqrt{3}+3\cdot 2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^3=$  

$=8+12\sqrt{3}+6\cdot 3+3\sqrt{3}=\underline{\underline{26+15\sqrt{3}}}$  

---

c)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:

  ${\left(3-\sqrt{2}\right)}^3\stackrel{2.}{=}{3}^3-3\cdot 3^2\cdot \sqrt{2}+3\cdot 3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^3=$  

$=27-27\sqrt{2}+9\cdot 2-2\sqrt{2}=27+18-30\sqrt{3}=\underline{\underline{45-29\sqrt{2}}}$  

---

d)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:

  ${\left(1-2\sqrt{3}\right)}^3\stackrel{2.}{=}{1}^3-3\cdot 1^2\cdot \left(2\sqrt{3}\right)+3\cdot 1\cdot {\left(2\sqrt{3}\right)}^2-{\left(2\sqrt{3}\right)}^3=$  

$=1-6\sqrt{3}+\underset{36}{\underbrace{3\cdot 4\cdot 3}}-\underset{24\sqrt{3}}{\underbrace{8\cdot 3\sqrt{3}}}=\underline{\underline{37-30\sqrt{3}}}$