Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów $4.{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$  -  sześcian sumy $5.{\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$  -  sześcian różnicy własność wartości bezwzględnej: ${\sqrt{a}}^2=\left|a\right|,a\in \mathbb{R}$

---

a)

Pokażemy, że prawdziwa jest równość

$\sqrt{13-4\sqrt{3}}+\sqrt{4\left(7-4\sqrt{3}\right)}=3$  

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę równości:

$\mathbf{L}=\sqrt{13-4\sqrt{3}}+\sqrt{4\left(7-4\sqrt{3}\right)}=\sqrt{13-4\sqrt{3}}+2\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\dots$  

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy: 

• $13-4\sqrt{3}=12+1-4\sqrt{3}={\left(\sqrt{12}\right)}^2+1^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1=$  

$={\left(\underset{\sqrt{12}}{\underbrace{2\sqrt{3}}}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 1+1^2\stackrel{2.}{=}{\left(2\sqrt{3}-1\right)}^2$  

•   $7-4\sqrt{3}=4+3-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}=2^2-2\cdot 2\cdot \sqrt{3}+{\left(\sqrt{3}\right)}^2\stackrel{2.}{=}{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2$   

Zatem lewa strona dowodzonej równości sprowadza się do postaci:

$\dots =\sqrt{{\left(2\sqrt{3}-1\right)}^2}+2\sqrt{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}=\dots$  

korzystamy z własności wartości bezwzględnej i otrzymujemy:

$\dots =\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{2\sqrt{3}-1}}\right|+2\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{2-\sqrt{3}}}\right|=$  

$=2\sqrt{3}-1+2\left(2-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-1+4-2\sqrt{3}=\underline{\underline{3}}=\mathbf{P}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P}$  , co kończy dowód. ▊

---

b)

Pokażemy, że prawdziwa jest równość

$\sqrt{9-4\sqrt{2}}+1=\frac{4}{\sqrt{2}}$  

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę równości:

$\mathbf{L}=\sqrt{9-4\sqrt{2}}+1=\dots$  

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

• $9-4\sqrt{2}=8+1-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1={\left(\sqrt{8}\right)}^2={\left(\sqrt{8}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2=$  

  $={\left(\underset{\sqrt{8}}{\underbrace{2\sqrt{2}}}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2\stackrel{2.}{=}{\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2$   

Zatem lewa strona dowodzonej równości sprowadza się do postaci:

$\dots =\sqrt{{\left(2\sqrt{2}-1\right)}^2}+1=\dots$  

korzystamy z własności wartości bezwzględnej i otrzymujemy:

$\dots =\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{2\sqrt{2}-1}}\right|+1=2\sqrt{2}-1+1=2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\underline{\underline{\frac{4}{\sqrt{2}}}}=\mathbf{P}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P}$  , co kończy dowód. ▊

---

c)

Pokażemy, że prawdziwa jest równość

$\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2\left(\sqrt[4]{5}+1\right)={\left(1+\sqrt[4]{5}\right)}^2$  

Dowód:

Przekształcamy lewą stronę równości:

$\mathbf{L}=\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2\left(\sqrt[4]{5}+1\right)=\dots$  

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy mamy:

• $6-2\sqrt{5}=5+1-2\cdot \sqrt{5}\cdot 1={\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\cdot \sqrt{5}\cdot 1+1^2\stackrel{2.}{=}{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2$    

Zatem lewa strona dowodzonej równości sprowadza się do postaci:

$\dots =\sqrt{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}+2\left(\sqrt[4]{5}+1\right)=\dots$  

korzystamy z własności wartości bezwzględnej i otrzymujemy:

$\dots =\left|\underset{\left(+\right)}{\underbrace{\sqrt{5}-1}}\right|+2\left(\sqrt[4]{5}+1\right)=\sqrt{5}-1+2\sqrt[4]{5}+2=\sqrt{5}+2\sqrt[4]{5}+1=\dots$  

Zauważmy, że

   $\sqrt{5}=5^{\frac{1}{2}}=5^{2\cdot \frac{1}{4}}={\left(5^{\frac{1}{4}}\right)}^2={\left(\sqrt[4]{5}\right)}^2$   

Stąd

$\dots ={\left(\sqrt[4]{5}\right)}^2+2\cdot \sqrt[4]{5}\cdot 1+1^2\stackrel{1.}{=}\underline{\underline{{\left(1+\sqrt[4]{5}\right)}^2}}=\mathbf{P}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P}$  , co kończy dowód. ▊

---

d)

Pokażemy, że prawdziwa jest równość

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{2}-7}{5\sqrt{2}+7}}$  

Dowód:

Przekształcamy prawą stronę równości:

$\mathbf{P}=\sqrt[3]{\frac{5\sqrt{2}-7}{5\sqrt{2}+7}}=\dots$  

Zauważmy, że ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy mamy:

• $5\sqrt{2}+7=2\sqrt{2}+3\cdot \sqrt{2}+1+6=2\sqrt{2}+3\cdot 2+3\sqrt{2}\cdot 1+1=$  

$={\left(\sqrt{2}\right)}^3+3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 1+3\cdot \sqrt{2}\cdot 1^2+1^3\stackrel{4.}{=}{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3$    

Ze wzoru na sześcian różnicy otrzymujemy:

• $5\sqrt{2}-7=2\sqrt{2}+3\cdot \sqrt{2}-1-6=2\sqrt{2}-3\cdot 2+3\sqrt{2}\cdot 1-1=$  

$={\left(\sqrt{2}\right)}^3-3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 1+3\cdot \sqrt{2}\cdot 1^2-1^3\stackrel{5.}{=}{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3$    

Zatem prawa strona dowodzonej równości sprowadza się do postaci:

$\dots =\sqrt[3]{\frac{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^3}{{\left(\sqrt{2}+1\right)}^3}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)}^3}=\underline{\underline{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}}}=\mathbf{L}$  

$\mathbf{L}=\mathbf{P}$  , co kończy dowód. ▊