Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$   -  kwadrat różnicy $3.\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$  -  różnica kwadratów

---

a)

Założenia:

$x>0,y>0$

Teza:

$2xy\le x^2+y^2$

Dowód:

Przekształcamy nierówność z zadania w sposób równoważny:

$x^2+y^2-2xy\ge 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy:

${\left(x-y\right)}^2\ge 0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, co kończy dowód nierówności ▊.

---

b)

Założenia:

$x>0,y>0$

Teza:

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}$

Dowód:

Przekształcamy nierówność z zadania w sposób równoważny:

$\frac{x+y}{2}\ge \sqrt{xy}\mid \cdot 2$

$x+y\ge 2\sqrt{xy}$

Zgodnie z założeniem x i y są liczbami dodatnimi, zatem

   $x={\left(\sqrt{x}\right)}^2,\text{oraz}y={\left(\sqrt{y}\right)}^2$  

Stąd nierówność sprowadza się do postaci:

${\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\sqrt{y}\right)}^2\ge 2\sqrt{xy}\mid -2\sqrt{xy}$  

${\left(\sqrt{x}\right)}^2+{\left(\sqrt{y}\right)}^2-2\underset{\sqrt{xy}}{\underbrace{\sqrt{x}\sqrt{y}}}\ge 0$  

${\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}\cdot \sqrt{y}+{\left(\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy:

${\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)}^2\ge 0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, co kończy dowód nierówności ▊.

---

c)

Założenia:

$x>0,y>0$

Teza:

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2$

Dowód:

Przekształcamy nierówność z zadania w sposób równoważny.  Zgodnie z założeniem liczby x oraz y są dodatnie zatem możemy pomnożyć nierówność obustronnie przez wyrażenie 2xy:

$\frac{2x}{y}+\frac{y}{2x}\ge 2\mid \cdot 2xy>0$

$\frac{2x}{\sout{y}}\cdot 2x\sout{y}+\frac{y}{\sout{2x}}\cdot \sout{2x}y\ge 2\cdot 2xy$  

$4x^2+y^2\ge 4xy$  

$4x^2-4xy+y^2\ge 0$  

${\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot y+y^2\ge 0$  

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy i otrzymujemy:

${\left(2x-y\right)}^2\ge 0$  

Zauważmy, że lewa strona nierówności jest kwadratem pewnej liczby rzeczywistej. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, co kończy dowód nierówności ▊.