Zadanie x. Dany jest trójkąt prostokątny przedstawiony na rysunku obok. 

 

RYSUNEK 1 -> RYSUNEK 2

 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Sinus kąta ostrego $\alpha$ jest równy

A.  $\frac{\sqrt{10}}{3}$                         B.  $\frac{1}{3}$                         C.  $\frac{2\sqrt{2}}{3}$                         D.  $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Rozwiązanie

$2^2+x^2=6^2$

$4+x^2=36$

$x^2=32\text{i}x>0$

$x=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}$

$x=4\sqrt{2}$

$\sin \alpha =\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

 

---

 

 

Zadanie x. Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$. Odcinek $AB$ jest przeciwprostokątną oraz $\left|AB\right|=10$, $\left|BC\right|=5$ i $\left|\sphericalangle BAC\right|=\alpha$.

Dokończ zdanie. Zaznacz dwie odpowiedzi, tak aby dla każdej z nich dokończenie zdania było prawdziwe.

Dla trójkąta $ABC$ zachodzi

A.  $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$                         B.  $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{3}}{3}$                         C.  $\cos \alpha =\frac{1}{2}$

D.  $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$                         E.  $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$                         F.  $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}$

Rozwiązanie

RYSUNEK 3

$x^2+5^2=10^2$

$x^2+25=100$

$x^2=75\text{i}x>0$

$x=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$

$x=5\sqrt{3}$

$\sin \alpha =\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$\cos \alpha =\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

 

---

 

 

Definicja

rysunek 4

Sinusem kąta $\alpha$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

Cosinusem kąta $\alpha$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej lezącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej.

$\cos \alpha =\frac{b}{c}$

Tangensem kąta $\alpha$ nazywamy stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przyprostokątnej lezącej przy tym kącie. 

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{b}$

 

Sinus, cosinus i tangens nazywamy funkcjami trygonometrycznymi. 

 

---

 

(Zauważmy, że przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Stąd powiemy, że stosunek długości jednej z przyprostokątnych do długości przeciwprostokątnej jest zawsze liczbą mniejszą od 1.

Zauważmy, że dla kąta ostrego $\alpha$ mamy:

$0<\sin \alpha <1$

$0<\cos \alpha <1$

(Zatem jeśli wyznaczamy sinusa albo cosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym, to wynik musi być liczbą większą od 0 i mniejszą od 1. W przeciwnym przypadku oznacza to, że popełniliśmy gdzieś błąd.)

Natomiast tangens kąta ostrego może być dowolną liczbą rzeczywistą. 

 

Przykład x. Sprawdź, czy istnieje taki kąt ostry $\alpha$, dla którego:

a) $\cos \alpha =5-12\cos \alpha |+12\cos \alpha$

$13\cos \alpha =5|:13$

$\cos \alpha =\frac{5}{13}\in \left(0,1\right)$

Istnieje taki kąt ostry $\alpha$.

b) $3\sin \alpha -5=\sin \alpha -\sqrt{3}$

$2\sin \alpha =5-\sqrt{3}|:2$

$\sin \alpha =\frac{5-\sqrt{3}}{2}>1$

Taki kąt nie istnieje.

 

---

 

 

Przykład x. Wyznacz wartości funkcji trygonometrycznych kątów ostrych trójkąta prostokątnego przedstawionego na rysunku.

 

rysunek 4

 

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$ $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$

$\sin \beta =\frac{4}{5}$ $\cos \beta =\frac{3}{5}$ $\mathrm{tg}\beta =\frac{4}{3}=1\frac{1}{3}$