Zadanie 1. Dany jest kwadrat o obwodzie $64\text{cm}$. Jeden bok tego kwadratu skrócono o $x$ (centymetrów), a drugi wydłużono o $x$ (centymetrów). W ten sposób otrzymano prostokąt, którego stosunek długości boków wynosi $3:2$.

Zadanie 1.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość liczby $x$ można wyznaczyć z równania:

A.  $\frac{64-x}{64+x}=\frac{3}{2}$               B.  $\frac{64-x}{64+x}=\frac{2}{3}$               C.  $\frac{16-x}{16+x}=\frac{2}{3}$                    D.  $\frac{16-x}{16+x}=\frac{3}{2}$

Rozwiązanie

Długość boku kwadratu   $\to \frac{64}{4}=16\left[\text{cm}\right]$

$x>0$

Pierwszy bok prostokąta   $\to 16-x$ (krótszy bok prostokąta)

Drugi bok prostokąta   $\to 16+x$ (dłuższy bok prostokąta)

(stosunek 3 drugie oznacza to, że jeśli długość dłuższego boku prostokąta podzielimy przez długość jego krtószego boku to otrzymamy wynik trzy drugie)

Zwróćmy uwagę, że w proponowanych odpowiedziach wszedzie mamy podzielone długości -> krótszy bok przez dłuższy. Czyli skoro stosunek trzy drugie to stosunek dłuższegho do kroszego, to dwie trzecie będzie stosunkiem krtószego boku do długości dłuższego.

$\frac{16-x}{16+x}=\frac{2}{3}$

 

Zadanie 1.2. Wyznacz pole tego prostokąta. Zapisz obliczenia.

(Mamy już równanie. Powinniśmy się jeszcze zastanowić nad jego dziedziną. Liczba x jest dodatnia. Wyrażenia 16 odjąć x i 16 dodać x opisują długość, czyli muszą być dodatnie. Zapiszmy więc takie warunki.)

$\begin{array}{ccccc}x>0& \text{i}& 16-x>0& \text{i}& 16+x>0\\ & & -x>-16& & x>-16\\ & & x<16& & \end{array}$

$D=\left(0,16\right)$

 

 $\frac{16-x}{16+x}=\frac{2}{3}$

$\left(16-x\right)\cdot 3=\left(16+x\right)\cdot 2$

$48-3x=32+2x$

$-5x=-16|:\left(-5\right)$

$x=\frac{16}{5}\left[\text{cm}\right]$

Długości boków prostokąta:

• $16-x=16-\frac{16}{5}=\frac{80}{5}-\frac{16}{5}=\frac{64}{5}\left[{}^{}\text{cm}\right]$
• $16+x=16+\frac{16}{5}=\frac{80}{5}+\frac{16}{5}=\frac{96}{5}\left[\text{cm}\right]$

Pole prostokąta:

$P=\frac{64}{5}\cdot \frac{96}{5}=\frac{6144}{25}=245\frac{19}{25}\left[{\mathrm{cm}}^2\right]$

 

 

Zadanie x. Suma kwadratów trzech kolejnych liczb naturalnych nieparzystych wynosi $683$.

Wyznacz te liczby. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$2n+1$, gdzie $n\in \mathbb{N}\to$naturalna liczba nieparzysta

$2n+1,2n+3,2n+5\to$trzy kolejne liczby nieparzyste

${\left(2n+1\right)}^2+{\left(2n+3\right)}^2+{\left(2n+5\right)}^2=683$

$4n^2+2n+1+4n^2+12n+9+4n^2+20n+25=683$

$12n^2+36n+35=683$

$12n^2+36n-648=0|:12$

$n^2+3n-54=0$

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-54\right)=9+216=225\to \sqrt{\Delta }=15$

$n_1=\frac{-3-15}{2\cdot 1}=\frac{-18}{2}=-9\notin \mathbb{N}$

$n_2=\frac{-3+15}{2\cdot 1}=\frac{12}{2}=6\in \mathbb{N}$

Dla $n=6$ mamy:

$2n+1=2\cdot 6+1=12+1=13$

$2n+3=2\cdot 6+3=12+3=15$

$2n+5=2\cdot 6+5=12+5=17$

Odp.: Szukane liczby to $13,15,17$.

---

 

Zadanie x. Droga przebyta przez ciało w ruchu jednostajnie przyspieszonym określona jest wzorem $s\left(t\right)=v_{0}t+\frac{g{t}^2}{2}$, gdzie $s$ oznacza drogę przebytą przez ciało (w metrach), $t$ jest czasem spadanie (w sekundach), a $v_0$ to prędkość początkowa ciała (w metrach na sekundę). Przyspieszenie ziemskie oznaczono jako $g$. Przyjmij, że $g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$.

Na wieży ciśnień, której wysokość wynosi $80\text{m}$ umieszczono platformę widokową. Zrzucono z niej kamień z prędkością początkową $5\frac{\text{m}}{\text{s}}$.

Oblicz, ile czasu spada kamień zrzucony w dół kamień. Wynik podaj z dokładnością do $0,1\text{s}$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$s=80\left[\text{m}\right]$

$v_0=5\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]$

$g=10\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2}$

$t=?$

$s\left(t\right)=v_{0}t+\frac{g{t}^2}{2}$

$80=5t+\frac{10t^2}{2}$

$80=5t+5t^2$

$5t^2+5t-80=0|:5$

$t^2+t-16=0$

$\Delta =1^2-4\cdot 1\cdot \left(-16\right)=1+64=65\to \sqrt{\Delta }=65$

$t_1=\frac{-1-\sqrt{65}}{2\cdot 1}=\frac{-1-\sqrt{65}}{2}<0\to$ sprzeczność

$t_2=\frac{-1+\sqrt{65}}{2\cdot 1}=\frac{\sqrt{65}-1}{2}$

$t=\frac{\sqrt{65}-1}{2}\approx 3,53\approx 3,5\left[\text{s}\right]$

Odp.: Kamień spada przez około $3,5$ sekundy.