Definicja

Potęgą o wykładniku naturalnym $n>1$ i podstawie $a\in \mathbb{R}$ nazywamy liczbę

$a^n=\underset{n\text{czynnikoˊw}}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$

Ponadto, przyjmujemy:

• $a^0=1$  dla  $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$
• $a^1=a$
• $0^0$ nie ma określonej wartości

Przykład 1. Oblicz:

a) $3^4=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81$

b) ${\left(1\frac{1}{3}\right)}^2={\left(\frac{4}{3}\right)}^2=\frac{4}{3}\cdot \frac{4}{3}=\frac{16}{9}=1\frac{7}{9}$

c) ${\left(-4\right)}^2\cdot {\left(-\frac{1}{4}\right)}^3=16\cdot \left(-\frac{1}{64}\right)=-\frac{1}{4}$

---

---

Definicja

Potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym $-n$, gdzie $n\in {\mathbb{N}}_{+}$ i podstawie $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{0\right\}$ nazywamy liczbę

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

co możemy zapisać również jako

$a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$

 

Przykład 2. Oblicz:

a) $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$

b) ${\left(2\frac{1}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{7}{3}\right)}^{-2}={\left(\frac{3}{7}\right)}^2=\frac{9}{49}$

c) ${\left(-\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(-\frac{3}{2}\right)}^3=-\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}$

d) $-{\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^{-2}=-{\left(-\frac{5}{\sqrt{5}}\right)}^2=-\frac{25}{5}=-5$

 

---

---

---

Własności działań na potęgach

Niech $r\in \mathbb{Z}$ i $s\in \mathbb{Z}$. Dla liczb $a\ne 0$ i $b\ne 0$ mamy:

1. $a^r\cdot a^s=a^{r+s}$
2. ${\left(a^r\right)}^s=a^{r\cdot s}$
3. $\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$
4. ${\left(a\cdot b\right)}^r=a^r\cdot b^r$
5. ${\left(\frac{a}{b}\right)}^r=\frac{a^r}{b^r}$

Przykład 3. Oblicz

a) $5^{-20}\cdot 5^{19}=5^{-20+19}=5^{-1}=\frac{1}{5}$

b) ${\left(7^2\right)}^{-18}\cdot {\left(7^{-9}\right)}^{-4}=7^{2\cdot \left(-18\right)}\cdot 7^{-9\cdot \left(-4\right)}=7^{-36}\cdot 7^{36}=7^{-36+36}=7^0=1$

c) ${\left(-1\frac{2}{3}\right)}^{-1}:{\left(-1\frac{2}{3}\right)}^{-3}={\left(-1\frac{2}{3}\right)}^{-1-\left(-3\right)}={\left(-1\frac{2}{3}\right)}^2={\left(-\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}=2\frac{7}{9}$

d) $\frac{a^2\cdot a^5}{{\left(a^{-2}\right)}^3}=\frac{a^{2+5}}{a^{-2\cdot 3}}=\frac{a^7}{a^{-6}}=a^{7-\left(-6\right)}=a^{13}$

e) prawo 4 i prawo 5

 

Definicja

Zapisem liczby w notacji wykładniczej nazywamy zapis tej liczby w postaci $k\cdot n^{10}$, gdzie $k\in \left[1,10\right)$ i $n\in \mathbb{Z}$.

(KOM: Zapisywanie i odczytywanie bardzo małych i bardzo dużych liczb może sprawiać kłopot. Dzięki notacji wykładniczej możemy zapisać takie liczby w wygodniejszej postaci.)

 

Przykład 4. Przedstaw podaną wielkość w notacji wykładniczej.

a) prędkość światła $300000000\frac{\text{m}}{\text{s}}$

$300000000\frac{\text{m}}{\text{s}}=3\cdot 10^8\frac{\text{m}}{\text{s}}$

(W notacji wykładniczej wykładnik potęgi liczby 10 możemy szybko obliczyć w taki sposób: Przecinek przesunął się o 8 miejsc w lewo, czyli wykładnikiem dziesiątki będzie liczba 8.)

b) średnica ziarenka piasku $0,000625\text{cm}$

$0,000625\text{cm}=6,25\cdot 10^{-4}\text{cm}$

c) masa Księżyca $73490000000000000000000\text{kg}$

$73490000000000000000000\text{kg}=7,349\cdot 10^{22}\text{kg}$

 

 

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $5^{200}+5^{200}+5^{200}+5^{200}+5^{200}$ jest równa

A.  $5^{1000}$                    B.  $5^{201}$                    C.  $25^{200}$                    D.  $25^{1000}$

Rozwiązanie:

$5^{200}+5^{200}+5^{200}+5^{200}+5^{200}=5\cdot 5^{200}=5^1\cdot 5^{200}=5^{1+200}=5^{201}$

Odp. B

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $\frac{5^{-1}}{{\left(-\frac{1}{25}\right)}^{-2}}\cdot 125$ jest równa

A.  $-25$                    B.  $25$                    C.  $-\frac{1}{25}$                    D.  $\frac{1}{25}$

Rozwiązanie:

• $5^{-1}=\frac{1}{5}$
• ${\left(-\frac{1}{25}\right)}^{-2}={\left(-25\right)}^2=625$

$\frac{5^{-1}}{{\left(-\frac{1}{25}\right)}^{-2}}\cdot 125=\frac{\frac{1}{5}}{625}\cdot 125=\frac{\frac{1}{5}}{{}_5\cancel{625}}\cdot {\cancel{125}}^1=\frac{\frac{1}{5}}{5}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{25}$

Odp. D

---

Zadanie x. Dane są liczby $x=16^{20}$ oraz $y=25^{10}$. 

x.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Połowa liczby $x$ jest równa

A.  $8^{20}$                    B.  $16^{10}$                    C.  $2^{79}$                    D.  $16^{19}$

x.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy

A.  $80^{20}$                    B.  ${\left(3,2\right)}^{10}$                    C.  ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{20}$                    D.  ${\left(4\sqrt{5}\right)}^{40}$

xxxxxxxxxxxxxxxxxx

Zadanie x. Dane są liczby $x=16^{20}$ oraz $y=25^{10}$. 

x.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Połowa liczby $x$ jest równa

A.  $8^{20}$                    B.  $16^{10}$                    C.  $2^{79}$                    D.  $16^{19}$

Rozwiązanie:

$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\cdot 16^{20}=\frac{1}{2}\cdot {\left(2^4\right)}^{20}=\frac{1}{2}\cdot 2^{4\cdot 20}=\frac{1}{2}\cdot 2^{80}=2^{-1}\cdot 2^{80}=2^{-1+80}=2^{79}$

Odp. C

 

Zadanie x. Dane są liczby $x=16^{20}$ oraz $y=25^{10}$. 

x.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz $\frac{x}{y}$ jest równy

A.  $80^{20}$                    B.  ${\left(3,2\right)}^{10}$                    C.  ${\left(\frac{4}{5}\right)}^{20}$                    D.  ${\left(4\sqrt{5}\right)}^{40}$

Rozwiązanie:

$\frac{x}{y}=\frac{16^{20}}{25^{10}}=\frac{16^{20}}{{\left(5^2\right)}^{10}}=\frac{16^{20}}{5^{20}}={\left(\frac{16}{5}\right)}^{20}={\left(3,2\right)}^{20}$

Odp. B

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia ${\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{a^3}{b^4}\right)}^{-2}\cdot a^4{b}^{-12}$ jest równa

A.  $\frac{1}{3}{a}^{-2}{b}^{-4}$                    B.  $9a^{10}{b}^{20}$                    C.  $3a{b}^{-8}$                    D.  $9a^{-2}{b}^{-4}$

Rozwiązanie:

${\left(\frac{1}{3}\cdot \frac{a^3}{b^4}\right)}^{-2}\cdot a^4{b}^{-12}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}\cdot {\left(\frac{a^3}{b^4}\right)}^{-2}\cdot a^4{b}^{-12}=9\cdot \frac{a^{-6}}{b^{-8}}\cdot a^4{b}^{-12}=9\cdot \frac{a^{-6}\cdot a^4\cdot b^{-12}}{b^{-8}}=$

$=9\cdot a^{-6}\cdot a^4\cdot \frac{b^{-12}}{b^{-8}}=9\cdot a^{-6+4}\cdot b^{-12-\left(-8\right)}=9a^{-2}{b}^{-4}$

Odp. D

---