Definicja

Równaniem wielomianowym stopnia $n$ nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Przykład 1. Rozwiąż równanie.

a) $\left(x^2-64\right)\left(2x-3\right)=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^2-64=0& \text{lub}& 2x-3=0\\ x^2=64& & 2x=3\\ x=8\text{lub}x=-8& & x=1\frac{1}{3}\end{array}$

$x\in \left\{-8,1\frac{1}{3},8\right\}$

b) $24x^4-81x=0|:3$

$8x^4-27x=0$

$x\left(8x^3-27\right)=0$

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}x=0& \text{lub}& 8x^3-27=0\\ & & 8x^3=27|:8\\ & & x^3=\frac{27}{8}\\ & & x=\frac{3}{2}\\ & & x=1\frac{1}{2}\end{array}\end{array}$

$x\in \left\{0,1\frac{1}{2}\right\}$

 

c) $x^4+9x^2=6x^3$

$x^4+9x^2-6x^3=0$

$x^4-6x^3+9x^2=0$

$x^2\left(x^2-6x+9\right)=0$

$x^2\left(x^2-2\cdot 3\cdot x+3^2\right)=0$

$x^2{\left(x-3\right)}^2=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^2=0& \text{lub}& {\left(x-3\right)}^2=0\\ x=0& & x-3=0\\ & & x=3\end{array}$

$x\in \left\{0,3\right\}$

 

 

---

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Równanie $x\left(x-16\right)\left(x^2+16\right)\left(2x^2+32\right)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie                    B. dwa rozwiązania

C. cztery rozwiązania                   D. sześć rozwiązań

Rozwiązanie

$x\left(x-16\right)\left(x^2+16\right)\left(2x^2+32\right)=0$

$\begin{array}{ccccccc}x=0& \text{lub}& x-16=0& \text{lub}& x^2+16=0& \text{lub}& 2x^2+32=0\\ & & x=16& & x^2=-16& & 2x^2=-32\\ & & & & \text{sprzecznosˊcˊ}& & x^2=-16\\ & & & & & & \text{sprzecznosˊcˊ}\end{array}$

$x\in \left\{0,16\right\}$

 

Zadanie x. Rozwiąż równanie $\left(x^3+27\right)\left(3x^2-2x+1\right)=0$. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

$\left(x^3+27\right)\left(3x^2-2x+1\right)=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^3+27=0& \text{lub}& 3x^2-2x+1=0\\ x^3=-27& & \Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 3\cdot 1=4\to \sqrt{\Delta }=2\\ x=-3& & x_1=\frac{2-4}{2\cdot 3}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}\\ & & x_2=\frac{2+4}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1\end{array}$

Odp.: $x\in \left\{-3,-\frac{1}{3},1\right\}$

 

Zadanie x. Dane jest równanie $\sqrt{5}\left(x^2-3\right)\left(x+6\right)=0$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloczyn wszystkich rozwiązań tego równania wynosi

A.  $\left(-18\right)$                         B.  $18$                         C.  $\left(-18\sqrt{5}\right)$                         D.  $18\sqrt{5}$

Rozwiązanie

$\sqrt{5}\left(x^2-3\right)\left(x+6\right)=0|:\sqrt{5}$

$\left(x^2-3\right)\left(x+6\right)=0$

$\begin{array}{ccc}{x}^2-3=0& \text{lub}& x+6=0\\ x^2=3& & x=-6\\ x=\sqrt{3}\text{lub}x=-\sqrt{3}& & \end{array}$

$x\in \left\{-6,-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$

Iloczyn rozwiązań: $-6\cdot \left(-\sqrt{3}\right)\cdot \sqrt{3}=6\cdot 3=18$