Definicja

Liczbami wymiernymi nazywamy liczby, które można zapisać w postaci ułamka $\frac{m}{n}$, gdzie $m$ i $n\ne 0$ są liczbami całkowitymi.

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy Q.

(Każda liczba całkowita jest również liczbą wymierną.)

Przykład 1. Przykłady liczb wymiernych:

• $\frac{1}{4}$
• $-\frac{17}{20}$
• $1\frac{3}{4}$
• $-0,39=-\frac{39}{100}$
• $0,125=\frac{1}{8}$
• $0,\left(3\right)=\frac{1}{3}$
• $12=\frac{12}{1}=\frac{24}{2}=\dots$

(Stąd wniosek, że każdą liczbę wymierną możemy przedstawić na wiele sposobów)

 

Działania w zbiorze liczb wymiernych

Kolejność wykonywania działań

1. Działania w nawiasach 
2. Potęgi i pierwiastki
3. Mnożenie i dzielenie (w kolejności występowania)
4. Dodawanie i odejmowanie (w kolejności występowania)

 

Przykład 2. Oblicz wartość wyrażenia:

a) $\left(2\frac{5}{6}-1\frac{2}{3}\right):7-\frac{1}{3}=\left(2\frac{5}{6}-1\frac{4}{6}\right):7-\frac{1}{3}=1\frac{1}{6}:7-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}:7-\frac{1}{3}=\frac{7}{6}\cdot \frac{1}{7}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$

b) $\frac{1,5+2\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{2\frac{1}{4}}}{\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^2-3\frac{1}{7}\cdot \frac{7}{11}}=\frac{1\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}-\frac{2}{3}\cdot \sqrt{\frac{9}{4}}}{\frac{1}{4}\cdot 4-\frac{22}{7}\cdot \frac{7}{11}}=\frac{1\frac{2}{4}+2\frac{1}{4}-\frac{{}^1\bcancel{2}}{{}_1\cancel{3}}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{{\bcancel{2}}_1}}{\frac{1}{{}_1\cancel{4}}\cdot {\cancel{4}}^1-\frac{{}^2\bcancel{22}}{{}_1\cancel{7}}\cdot \frac{{\cancel{7}}^1}{{\bcancel{11}}_1}}=\frac{3\frac{3}{4}-1}{1-2}=\frac{2\frac{3}{4}}{-1}=-2\frac{3}{4}$

 

 

Przykład x. Podaj przykład liczby wymiernej $w$ spełniającej podany warunek: (w tabeli w dwóch kolumnach)

b)  $-\frac{1}{3}<w<-0,25$

$-\frac{1}{3}<w<-\frac{1}{4}$

$-\frac{4}{12}<w<-\frac{3}{12}$

$-\frac{8}{24}<w<-\frac{6}{24}$

np. $w=-\frac{7}{24}$

a)  $5,01<w<5,02$

$5,010<w<5,020$

np. $w=5,015$

 

 

 

 

 

Definicja

Liczbą przeciwną do liczby $a$ nazywamy liczbę $-a$.

Liczbą odwrotną do liczby $a\ne 0$ nazywamy liczbę $\frac{1}{a}$.

Uwaga

Dla liczb $a\ne 0$ i $b\ne 0$ odwrotnością liczby $\frac{a}{b}$ jest liczba $\frac{b}{a}$.

(KOM: Liczba zero nie ma swojej odwrotności.)

Przykład x. Uzupełnij tabelę.

Liczba	$\frac{2}{13}$	$-1\frac{1}{8}$	$-7$	$0,55$
Liczba przeciwna	$-\frac{2}{13}$	$1\frac{1}{8}$	$7$	$-0,55$
Liczba odwrotna	$6\frac{1}{2}$	$-\frac{8}{9}$	$-\frac{1}{7}$	$1\frac{9}{11}$

$\frac{13}{2}=6\frac{1}{2}$

$0,55=\frac{55}{100}=\frac{11}{20}\to \frac{20}{11}=1\frac{9}{11}$

 

Zadanie x. 

Równością prawdziwą jest

A.  $\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}=\frac{13}{30}$                    B.  $0,\left(4\right)+0,\left(8\right)=0,\left(12\right)$

C.  $\frac{5-6,25}{5+6\frac{1}{4}}=\frac{1}{9}$                    D.  $0,6:0,2-0,25:0,05=-0,2$

Rozwiązanie

A.  $\frac{1}{2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{3\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2+\frac{1}{\frac{13}{4}}}=\frac{1}{2+1:\frac{13}{4}}=\frac{1}{2+\frac{4}{13}}=\frac{1}{2\frac{4}{13}}=\frac{1}{\frac{30}{13}}=1:\frac{30}{13}=\frac{13}{30}$ 

B.  $0,\left(4\right)+0,\left(8\right)=\frac{4}{9}+\frac{8}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}>1$

$0,\left(12\right)=\frac{12}{99}<1$

C.   $\frac{5-6,25}{5+6\frac{1}{4}}=\frac{5-6,25}{5+6,25}=\frac{-1,25}{11,25}=\frac{-125}{1125}=-\frac{1}{9}\ne \frac{1}{9}$

D.  $0,6:0,2-0,25:0,05=\frac{0,6}{0,2}-\frac{0,25}{0,05}=\frac{6}{2}-\frac{25}{5}=3-5=-2\ne -0,2$

ODP. A

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczbą odwrotną do liczby $\frac{1+\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{3}}$ jest liczba

A.  $-\frac{5}{4}$                    B.  $-\frac{4}{5}$                   C.  $\frac{4}{5}$                   D.  $\frac{5}{4}$

Rozwiązanie

$\frac{1+\frac{1}{3}}{2-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}{\frac{6}{3}-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{4}{3}:\frac{5}{3}=\frac{4}{{}_1\cancel{3}}\cdot \frac{{\cancel{3}}^1}{5}=\frac{4}{5}$

Liczbą odwrotną do $\frac{4}{5}$ jest liczba $\frac{5}{4}$.

 

Zadanie x. Dana jest nierówność $\frac{1}{4}<\frac{x}{12}<\frac{4}{3}$.

Odpowiedz na pytanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Ile liczb całkowitych spełnia podaną nierówność?

A.  $11$                    B.  $12$                    C.  $13$                    D.  $14$

Rozwiązanie

$\frac{1}{4}<\frac{x}{12}<\frac{4}{3}$

$\frac{3}{12}<\frac{x}{12}<\frac{16}{12}$

$x\in \left\{4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\right\}$

Podaną nierówność spełnia $12$ liczb całkowitych.

odp. B

 

 

Zadanie x. Liczba $a$ stanowi $\frac{1}{3}$ liczby $b$ i również $\frac{1}{4}$ liczby $c$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $b$ stanowi

A.  $\frac{3}{4}$ liczby $c$               B.  $\frac{1}{12}$ liczby $c$               C.  $\frac{4}{3}$ liczby $c$               D.  $\frac{7}{12}$ liczby $c$

Rozwiązanie

 

 

 

Zadanie x. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $5500:\left(1-\frac{1}{5501}\right)-\left(1-\frac{5501}{5500}\right):\frac{1}{5500}$ jest równa

A.  $1$                    B.  $5500$                   C.  $5501$                   D.  $5502$

Rozwiązanie

$5500:\left(1-\frac{1}{5501}\right)-\left(1-\frac{5501}{5500}\right):\frac{1}{5500}=5500:\left(\frac{5501}{5501}-\frac{1}{5501}\right)-\left(\frac{5500}{5500}-\frac{5501}{5500}\right):\frac{1}{5500}=$

$=5500:\frac{5500}{5501}-\left(-\frac{1}{5500}\right):\frac{1}{5500}=5500:\frac{5500}{5501}+\frac{1}{5500}:\frac{1}{5500}=$

$=5500\cdot \frac{5501}{5500}+\frac{1}{5500}\cdot 5500=5501+1=5502$