Teoria - Działania na przedziałach

O działaniach na zbiorach mówiliśmy już w pierwszej lekcji w tym dziale. Teraz wykorzystamy te umiejętności, więc rozpoczniemy od szybkiego przypomnienia.

Przypomnienie - działania na zbiorach

Definicja

Suma zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A$ lub $B$. Zapisujemy ją $A\cup B$.

Definicja

Część wspólna (iloczyn) zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru $A$ oraz do zbioru $B$. Zapisujemy ją $A\cap B$.

Definicja

Różnica zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A$  i nie należą do zbioru $B$. Zapisujemy ją $A\setminus B$ lub $A-B$.

---

Przykład 1. Dane są zbiory $A=\left(-3,\infty \right)$ i $B=\left[-6,5\right)$. Znajdź $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ i $B\setminus A$.

rys.

$A\cup B=\left[-6,\infty \right)$

rys.

$A\cap B=\left(-3,5\right)$

rys.

$A\setminus B=\left[5,\infty \right)$

rys.

$B\setminus A=\left[-6,-3\right]$

---

Definicja

Dana jest zbiór $A$ zawarty w przestrzeni $\mathbb{R}$.
Dopełnienie zbioru $A$ do przestrzeni $\mathbb{R}$ to zbiór tych elementów przestrzeni $\mathbb{R}$, które nie należą do zbioru $A$. Zapisujemy ją $A^{\prime }$(czytamy $A$ prim).

Uwaga:

$A\cup A^{\prime }=\mathbb{R}$

$A\cap A^{\prime }=\varnothing$

---

Przykład 2. Dane są zbiory $A=\left(-3,\infty \right)$ i $B=\left[-6,5\right)$ zawarte w przestrzeni $\mathbb{R}$. Wyznacz zbiory $A^{\prime }$ i $B^{\prime }$.

rys.

$A^{\prime }=\left(-\infty ,-3\right]$

rys.

$B^{\prime }=\left(-\infty ,-6\right)\cup \left[5,+\infty \right)$

---

PRAKTYKA

Zadanie 1. Wybierz odpowiedź, w której znajduje się zbiór wszystkich rozwiązań zaznaczony na poniższej osi liczbowej.

rys. z x=<-1 i x>2

A. $\left[-1,2\right)$                        B. $\left(-1,2\right]$                        C. $\left(-\infty ,-1\right]\cup \left(2,\infty \right)$                    D. $\left(-\infty ,-1\right)\cup \left[2,\infty \right)$

Rozwiązanie

$x\le -1\text{lub}x>2$

$A=\left(-\infty ,-1\right],B=\left(2,\infty \right)$

$A\cup B=\left(-\infty ,-1\right]\cup \left(2,\infty \right)$

---

Zadanie 2. Dane są przedziały $A=\left(-\infty ,3\right]$ i $B=\left(-3,3\right)$.

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Największa liczba całkowita należąca do zbioru $A\cap B$ jest równa $3$.	P	F
Zbiorem, będącym sumą przedziałów $A$ i $B$ jest zbiór $(-3,3]$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

rys.

$A\cap B=\left(-3,3\right)$

Największa liczba całkowita należąca do tego zbioru to $2$.

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

rys.

$A\cup B=\left(-\infty ,3\right]$

Zdanie jest fałszywe.

---

Zadanie 3. Rozważamy przedziały $A=\left(-5,14\right]$ i $B=\left[3,12\right)$. Ile jest wszystkich liczb całkowitych dodatnich, które należą do zbioru $A\setminus B$?

Odpowiedz na pytanie wybierając prawdziwą odpowiedź spośród podanych.

 A. $5$                                B. $6$                                 C. $7$                               D. $10$

Rozwiązanie

rys.

$A\setminus B=(-5,3)\cup \left[12,14\right]$

Liczby całkowite dodatnie należące do tego zbioru to: $1,2,12,13,14$. Jest $5$ takich liczb.

---

Zadanie 4. Dane są zbiory $A=\left(-1,1\right]\cup \left[3,6\right]$ i $B=\left[0,2\right)$ zawarte w przestrzeni $\mathbb{R}$.

Uzupełnij zdania podane w tabeli. Wpisz w każdą pustą komórkę tabeli właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A-F.

4.1	Sumą zbiorów $A$ i $B$ jest zbiór
4.2	Zbiorem będącym dopełnieniem zbioru $B$ do całej przestrzeni $\mathbb{R}$ jest

A. $\left(-\infty ,0\right]\cup \left(2,\infty \right)$                             B. $\left(1,3\right)$                                 C. $\left(-\infty ,0\right)\cup \left[2,\infty \right)$      

D. $\left(-1,0\right)\cup \left[3,6\right]$                                   E. $\left[0,1\right]$                                  F. $\left(-1,2\right)\cup \left[3,6\right]$      

Rozwiązanie

4.1

rys.

$A\cup B=\left(-1,2\right)\cup \left[3,6\right]$

4.1	Sumą zbiorów $A$ i $B$ jest zbiór	F
4.2	Zbiorem będącym dopełnieniem zbioru $B$ do całej przestrzeni $\mathbb{R}$ jest

4.2

rys.

 $B^{\prime }=\left(-\infty ,0\right)\cup \left[2,\infty \right)$

4.1	Sumą zbiorów $A$ i $B$ jest zbiór	F
4.2	Zbiorem będącym dopełnieniem zbioru $B$ do całej przestrzeni $\mathbb{R}$ jest	C