Zbiorem potocznie nazwiemy zestaw takich obiektów, które mają jakieś wspólne cechy (będziemy je oznaczać dużymi literami, np.: , , ).

"My skupimy się na zbiorach liczbowych."

Obiekty, które należą do zbioru nazwiemy elementami (oznaczamy je małymi literami np. , , ). Jeśli to możliwe, to elementy zbioru będziemy wypisywać pomiędzy nawiasami klamrowymi, czyli .

Jeśli jest elementem zbioru , to zapisujemy (czytamy należy do zbioru ).

Jeśli nie jest elementem zbioru , to zapisujemy (czytamy nie należy do zbioru ).

Moc zbioru będzie oznaczała liczebność danego zbioru, np. moc zbioru ~~oznaczymy jako~~ ~~lub~~ .

Zbiór pusty to zbiór, do którego nie należy żadne element (oznaczenie ).

Definicja

Zbiór nazywamy podzbiorem zbioru (inaczej powiemy, że zbiór zawiera się w zbiorze ), wtedy i tylko wtedy, jeśli każdy element zbioru należy do zbioru . Zapisujemy to (czytamy: zbiór zawiera się w zbiorze lub zbiór jest podzbiorem zbioru ).

Uwaga: Podzbiorem każdego zbioru jest zbiór pusty. Dodatkowo każdy zbiór jest swoim podzbiorem. Możemy zapisać:

oraz

Przykład 1

Niech - zbiór liczb naturalnych, będących dzielnikami liczby .

Liczby: , i są elementami tego zbioru. Możemy zapisać np.:

,

Przykładowym podzbiorem zbioru jest lub .

Możemy zapisać, że lub .

Zbiory liczbowe

"Skupimy się teraz na nieskończonym zbiorze liczb rzeczywistych i na jego podzbiorach"

Ważne oznaczenia:

- zbiór liczb rzeczywistych

"Czyli są to wszystkie liczby, jakie pojawiają się w szkole ponadpodstawowej. Wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Spójrzmy na następujący rysunek, na którym przedstawiony jest podział liczb wraz z przykładami. ..."

- zbiór liczb naturalnych

"Czyli mówimy tutaj o liczbach, które naturalnie możemy spotkać w życiu codziennym jeśli np. chcemy powiedzieć ile mamy długopisów. Możemy mieć 0 długopisów, 1,2 i tak dalej. Jeśli chodzi o , to założymy, że jest to liczba naturalna, natomiast to, czy zero zaliczymy do liczb naturalnych jest kwestią umowną."

- zbiór liczb całkowitych

"Możemy pomyśleć o tym w taki sposób, że są to liczby, które są "całe", nie nie mamy na myśli np. połówek. Czyli są to liczby naturalnie i liczby do nich przeciwne, czyli 0,1,2,3 oraz -1,-2,-3 i tak dalej."

- zbiór liczb wymiernych

"Czyli takich, które możemy przedstawić za pomocą ilorazy liczb całkowitych."

"Spójrzmy teraz na następującą tabelę, w której widzimy pewien podział liczb rzeczywistych wraz z przykładowymi liczbami. Zbiór liczb rzeczywistych dzieli się na zbiór liczb wymiernych i niewymiernych. Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych, a jego podzbiorem z kolei jest zbiór liczb naturalnych."

rys.

Możemy powiedzieć i zapisać np.:

lub albo

Dodatkowo można spotkać się też np. z następującymi oznaczeniami:

- zbiór liczb naturalnych dodatnich (czyli bez zera)

- zbiór liczb całkowitych ujemnych

itd.

"Więcej o tych zbiorach liczbowych dowiesz się w następnym dziale zatytułowanym "Liczby rzeczywiste"."

Działania na zbiorach

"Na zbiorach możemy wykonywać działania: możemy wyznaczać, sumę, część wspólną i różnicę zbiorów, a także znajdować dopełnienie zbioru na danej przestrzeni. Wynikiem takiego działania będzie jakiś zbiór. Przyjrzyjmy się teraz po kolei każdemu z wymienionych działań."

Definicja

Suma zbiorów i to zbiór tych elementów, które należą do zbioru lub . Zapisujemy ją .

rys.

Definicja

Część wspólna (iloczyn) zbiorów i to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru oraz do zbioru . Zapisujemy ją .

rys.

Definicja

Różnica zbiorów i to zbiór tych elementów, które należą do zbioru i nie należą do zbioru . Zapisujemy ją lub .

rys.

Przykład 2. Dane są zbiory:

, . Znajdź , , i .

Rozwiązanie

Definicja

Dana jest przestrzeń . Niech .
Dopełnienie zbioru do przestrzeni to zbiór tych elementów przestrzeni , które nie należą do zbioru . Zapisujemy ją (czytamy prim).

rys.

Przykład 3. Dana jest przestrzeń oraz zbiór taki, że . Podaj dopełnienie zbioru do całej przestrzeni .

Rozwiązanie

Przykład 4. Dane są zbiory:

a) Podaj moc zbioru i .

b) Czy prawdą jest, że lub ?

c) Podaj wszystkie podzbiory zbioru .

d) Znajdź , , i .

Rozwiązanie

a)

,

b)

Prawdą jest, że , ponieważ wszystkie elementy zbioru należą też do zbioru .

"Zauważmy, że każdy element zbioru B należy do zbioru A. Możemy więc powiedzieć, że zbiór B zawiera się w zbiorze A."

c)

Podzbiory zbioru to:

d)

Zadanie 1. Dane są zbiory:

- zbiór liczb naturalnych parzystych nie większych niż ,

- zbiór liczb naturalnych mniejszych od , dających przy dzieleniu przez resztę .

Zadanie 1.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Do zbioru należy

A. liczb B. liczb C. liczb D. liczb

Zadanie 1.2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Najmniejszą liczbą należącą do zbioru i nienależącą do zbioru jest liczba ...................... .

Zadanie 1.3. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń dotyczących zbiorów i . Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Można powiedzieć, że zbiór zawiera się w zbiorze .	P	F
Przykładem trzyelementowego podzbioru zbioru jest .	P	F

Rozwiązanie

1.1

Do zbioru należy liczb.

1.2

Liczby należące do zbioru i nienależącą do zbioru to , i , czyli możemy zapisać:

Najmniejszą z nich jest liczba .

Najmniejszą liczbą należącą do zbioru i nienależącą do zbioru jest liczba ...................... .

1.3

Można powiedzieć, że zbiór zawiera się w zbiorze .	P	F
Przykładem trzyelementowego podzbioru zbioru jest .	P	F

Zdanie pierwsze

Czy ?

Nie, ponieważ zbiór zawiera elementy, które nie należą do zbioru , a żeby zbiór zawierał się w , to wszystkie jego elementy powinny być też elementami zbioru .

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

Wszystkie elementy trzyelementowego zbioru są też elementami zbioru , więc podany zbiór jest podzbiorem .

Zdanie jest prawdziwe.

Zadanie 2. Dane są zbiory:

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Do zbioru należy/ należą

A. elementy B. elementy C. elementów D. elementów

Rozwiązanie

Do zbioru należą elementy.