Zbiorem potocznie nazwiemy zestaw takich obiektów, które mają jakieś wspólne cechy (będziemy je oznaczać dużymi literami, np.: $A$, $B$, $X$).

"My skupimy się na zbiorach liczbowych."

Obiekty, które należą do zbioru nazwiemy elementami (oznaczamy je małymi literami  np. $a$, $b$, $x$). Jeśli to możliwe, to elementy zbioru będziemy wypisywać pomiędzy nawiasami klamrowymi, czyli $\{\}$.

Jeśli $x$ jest elementem zbioru $X$, to zapisujemy $x\in X$(czytamy $x$ należy do zbioru $X$).

Jeśli $x$ nie jest elementem zbioru $X$, to zapisujemy $x\notin X$(czytamy $x$  nie należy do zbioru $X$).

Moc zbioru będzie oznaczała liczebność danego zbioru, np. moc zbioru $A$ oznaczymy jako $\left|A\right|$lub $\overline{\overline{A}}$.

Zbiór pusty to zbiór, do którego nie należy żadne element (oznaczenie $\varnothing$).

Definicja

Zbiór $A$ nazywamy podzbiorem zbioru $B$ (inaczej powiemy, że zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $B$), wtedy i tylko wtedy, jeśli każdy element zbioru $A$ należy do zbioru $B$. Zapisujemy to $A\subset B$(czytamy: zbiór $A$ zawiera się w zbiorze $B$lub zbiór $A$ jest podzbiorem zbioru $B$).

Uwaga: Podzbiorem każdego zbioru jest zbiór pusty. Dodatkowo każdy zbiór jest swoim podzbiorem. Możemy zapisać:

$A\subset A$ oraz $\varnothing \subset A$

---

Przykład 1

Niech $A$- zbiór liczb naturalnych, będących dzielnikami liczby $9$.

$A=\left\{1,3,9\right\}$

Liczby: $1$, $3$ i $9$ są elementami tego zbioru. Możemy zapisać np.:

$1\in A$, $2\notin A$

Przykładowym podzbiorem zbioru $A$ jest $\{3\}$ lub $\left\{1,9\right\}$.

Możemy zapisać, że $\left\{3\right\}\subset A$ lub $\left\{1,9\right\}\subset A$.

---

Zbiory liczbowe

"Skupimy się teraz na nieskończonym zbiorze liczb rzeczywistych i na jego podzbiorach"

Ważne oznaczenia:

$\mathbb{R}$ - zbiór liczb rzeczywistych

"Czyli są to wszystkie liczby, jakie pojawiają się w szkole ponadpodstawowej. Wszystkie liczby wymierne i niewymierne tworzą zbiór liczb rzeczywistych. Spójrzmy na następujący rysunek, na którym przedstawiony jest podział liczb wraz z przykładami. ..."

$\mathbb{N}$- zbiór liczb naturalnych

"Czyli mówimy tutaj o liczbach, które naturalnie możemy spotkać w życiu codziennym jeśli np. chcemy powiedzieć ile mamy długopisów. Możemy mieć 0 długopisów, 1,2 i tak dalej.  Jeśli chodzi o $0$, to założymy, że jest to liczba naturalna, natomiast to, czy zero zaliczymy do liczb naturalnych jest kwestią umowną."

$\mathbb{Z}$- zbiór liczb całkowitych

"Możemy pomyśleć o tym w taki sposób, że są to liczby, które są "całe", nie nie mamy na myśli np. połówek. Czyli są to liczby naturalnie i liczby do nich przeciwne, czyli 0,1,2,3 oraz -1,-2,-3 i tak dalej."

$\mathbb{Q}$ - zbiór liczb wymiernych

"Czyli takich, które możemy przedstawić za pomocą ilorazy liczb całkowitych."

"Spójrzmy teraz na następującą tabelę, w której widzimy pewien podział liczb rzeczywistych wraz z przykładowymi liczbami. Zbiór liczb rzeczywistych dzieli się na  zbiór liczb wymiernych i niewymiernych. Podzbiorem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb całkowitych, a jego podzbiorem z kolei jest zbiór liczb naturalnych."

rys.

Możemy powiedzieć i zapisać np.:

• $3\in \mathbb{N}$ lub $3\in \mathbb{R}$ albo $\frac{2}{3}\in \mathbb{Q}$
• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$

Dodatkowo można spotkać się też np. z następującymi oznaczeniami:

${\mathbb{N}}_{+}$ - zbiór liczb naturalnych dodatnich (czyli bez zera)

${\mathbb{Z}}_{-}$ - zbiór liczb całkowitych ujemnych

itd.

"Więcej o tych zbiorach liczbowych dowiesz się w następnym dziale zatytułowanym "Liczby rzeczywiste"."

---

Działania na zbiorach

 "Na zbiorach możemy wykonywać działania: możemy wyznaczać, sumę, część wspólną i różnicę zbiorów, a także znajdować dopełnienie zbioru na danej przestrzeni. Wynikiem takiego działania będzie jakiś zbiór. Przyjrzyjmy się teraz po kolei każdemu z wymienionych działań."

Definicja

Suma zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A$ lub $B$. Zapisujemy ją $A\cup B$.

rys.

Definicja

Część wspólna (iloczyn) zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru $A$ oraz do zbioru $B$. Zapisujemy ją $A\cap B$.

rys.

Definicja

Różnica zbiorów $A$ i $B$ to zbiór tych elementów, które należą do zbioru $A$  i nie należą do zbioru $B$. Zapisujemy ją $A\setminus B$ lub $A-B$.

rys.

---

Przykład 2. Dane są zbiory:

$A=\left\{2,4,5,8\right\}$, $B=\left\{3,5,8\right\}$. Znajdź $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ i $B\setminus A$.

Rozwiązanie

$A\cup B=\left\{2,3,4,5,8\right\}$

$A\cap B=\left\{5,8\right\}$

$A\setminus B=\left\{2,4\right\}$

$B\setminus A=\left\{3\right\}$

---

Definicja

Dana jest przestrzeń $U$. Niech $A\subset U$. 
Dopełnienie zbioru $A$ do przestrzeni $U$ to zbiór tych elementów przestrzeni $U$, które nie należą do zbioru $A$. Zapisujemy ją $A^{\prime }$(czytamy $A$ prim).

rys.

Przykład 3. Dana jest przestrzeń $U=\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\right\}$ oraz zbiór $A\subset U$ taki, że $A=\left\{0,2,4,5,8\right\}$. Podaj dopełnienie zbioru $A$ do całej przestrzeni $U$.

Rozwiązanie

$A^{\prime }=\left\{1,3,6,7\right\}$

---

Przykład 4. Dane są zbiory:

$A=\left\{a\in \mathbb{N}:5\le a<10\right\}$

$B=\left\{b\in {\mathbb{Z}}_{+}:b\le 9\right\}$ 

a) Podaj moc zbioru $A$ i $B$.

b) Czy prawdą jest, że $A\subset B$ lub $B\subset A$?

c) Podaj wszystkie podzbiory zbioru $B$.

d) Znajdź $A\cup B$, $A\cap B$, $A\setminus B$ i $B\setminus A$.

Rozwiązanie

$A=\left\{5,6,7,8,9\right\}$

$B=\left\{7,8,9\right\}$

a)

$\left|A\right|=4$, $\left|B\right|=3$

b)

Prawdą jest, że $B\subset A$, ponieważ wszystkie elementy zbioru $B$ należą też do zbioru $A$.

"Zauważmy, że każdy element zbioru B należy do zbioru A. Możemy więc powiedzieć, że zbiór B zawiera się w zbiorze A."

c)

Podzbiory zbioru $B$ to:

$\varnothing ,\left\{7\right\},\left\{8\right\},\left\{9\right\},\left\{7,8\right\},\left\{7,9\right\},\left\{8,9\right\},\left\{7,8,9\right\}$

d)

$A\cup B=\left\{5,6,7,8,9\right\}$

$A\cap B=\left\{7,8,9\right\}$

$A\setminus B=\left\{5,6\right\}$

$B\setminus A=\varnothing$

---

 Zadanie 1. Dane są zbiory:

$A$ - zbiór liczb naturalnych parzystych nie większych niż $14$,

$B$ - zbiór liczb naturalnych mniejszych od $20$, dających przy dzieleniu przez $3$ resztę $2$.

Zadanie 1.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Do zbioru $A$ należy

A. $7$ liczb                    B. $8$ liczb                   C. $9$ liczb                   D. $10$ liczb     

Zadanie 1.2. Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe.

Najmniejszą liczbą należącą do zbioru $B$ i nienależącą do zbioru $A$ jest liczba ...................... .

Zadanie 1.3. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń dotyczących zbiorów $A$ i $B$. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Można powiedzieć, że zbiór $B$ zawiera się w zbiorze $A$.	P	F
Przykładem trzyelementowego podzbioru zbioru $B$ jest $\left\{2,8,11\right\}$.	P	F

Rozwiązanie

1.1

$A=\left\{0,2,4,6,8,10,12,14\right\}$

$B=\left\{2,5,8,11,14,17\right\}$

Do zbioru $A$ należy $8$ liczb.

1.2

Liczby należące do zbioru $B$ i nienależącą do zbioru $A$ to $5$, $11$ i $17$, czyli możemy zapisać:
$B\setminus A=\left\{5,11,17\right\}$

Najmniejszą z nich jest liczba $5$.

Najmniejszą liczbą należącą do zbioru $B$ i nienależącą do zbioru $A$ jest liczba ...................... .

1.3

Można powiedzieć, że zbiór $B$ zawiera się w zbiorze $A$.	P	F
Przykładem trzyelementowego podzbioru zbioru $B$ jest $\left\{2,8,11\right\}$.	P	F

Zdanie pierwsze

Czy $B\subset A$?

Nie, ponieważ zbiór $B$ zawiera elementy, które nie należą do zbioru $A$, a żeby zbiór $B$ zawierał się w $A$, to wszystkie jego elementy powinny być też elementami zbioru $A$.

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

Wszystkie elementy trzyelementowego zbioru $\left\{2,8,11\right\}$ są też elementami zbioru $B$, więc podany zbiór jest podzbiorem $B$.

Zdanie jest prawdziwe.

---

 Zadanie 2. Dane są zbiory:

$X=\left\{-13,-11,0,11,13,17\right\}$ 

$Y=\left\{-19,11,13,19\right\}$

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Do zbioru $X\cap Y$ należy/ należą

A. $2$ elementy                    B. $4$ elementy                  C. $8$ elementów                   D. $10$ elementów     

Rozwiązanie

$X\cap Y=\left\{11,13\right\}$

Do zbioru $X\cap Y$ należą $2$ elementy.