Twierdzenie Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwe są wzory:

1) ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$    - kwadrat sumy

2) ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$    - kwadrat różnicy

3) $a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)$    - różnica kwadratów

Przykład 1. Zapisz w postaci sumy algebraicznej liczbę ${\left(2x-3y\right)}^2$.

${\left(2x-3y\right)}^2=\left(2x-3y\right)\left(2x-3y\right)=\dots$

${\left(2x-3y\right)}^2={\left(2x\right)}^2-2\cdot 2x\cdot 3y+{\left(3y\right)}^2=4x^2-12xy+9y^2$

Przykład 2. Oblicz

a) ${\left(3\sqrt{2}+5\right)}^2={\left(3\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5+5^2=9\cdot 2+30\sqrt{2}+25=18+30\sqrt{2}+25=44+30\sqrt{2}$

b) $\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)=\left(\frac{1}{2}+\sqrt{3}\right)\left(\frac{1}{2}-\sqrt{3}\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\frac{1}{4}-3=-2\frac{3}{4}$

Przykład 3. Zapisz podaną sumę algebraiczną w postaci iloczynu

$x^2-4x+4=x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2={\left(x-2\right)}^2$

$9x^2+12xy+4y^2={\left(3x\right)}^2+2\cdot 6xy+{\left(2y\right)}^2={\left(3x\right)}^2+2\cdot 3x\cdot 2y+{\left(2y\right)}^2={\left(3x+2y\right)}^2$

$16x^2-9=\left(4x^2\right)-3^2=\left(4x-3\right)\left(4x+3\right)$

"Umiejętności te mogą przydać nam się w rozwiązywaniu równań, w rozkładzie wielomianów na czynniki oraz w dowodach maturalnych, dlatego warto to przećwiczyć."

---

Zadanie 1. Dana jest liczba $x=\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}}\frac{}{}$. Uzupełnij poniższe zdanie wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Liczbą dwukrotnie większą od kwadratu liczby $x$ jest .................. .

Rozwiązanie

Chcemy znaleźć liczbę$2\cdot x^2$.

$x^2={\left(\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^2}{(\sqrt{2}{)}^2}=\frac{3-2\cdot \sqrt{3}\cdot 2+4}{2}=\frac{7-4\sqrt{3}}{2}$

$2x^2=2\cdot \frac{7-4\sqrt{3}}{2}=7-4\sqrt{3}$

Liczbą dwukrotnie większą od kwadratu liczby $x$ jest ......$7-4\sqrt{3}$...... .

 

Zadanie 2. Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i $b$ wyrażenie ${\left(-a-4b\right)}^2-8ab$ można zapisać w postaci

A. $a^2+16b^2-8ab$                     B. $a^2+16b^2$                         C. $-a^2-16ab-16b^2$                       D. $-a^2-8b^2$

Rozwiązanie

${\left(-a-4b\right)}^2-8ab={\left(-\left(a+4b\right)\right)}^2-8ab={\left(a+4b\right)}^2-8ab=a^2+2\cdot a\cdot 4b+16b^2-8ab=a^2+16b^2$ 

 Odp. B

 

Zadanie 3. Dana jest liczba $a=\sqrt{\sqrt{6}-2}\cdot \sqrt{\sqrt{6}+2}$. Dokończ zdanie wybierając poprawną odpowiedź spośród podanych.

Liczba $a$ jest równa

A. $\sqrt{6}-2$                     B. $6$                         C. $30$                       D. $\sqrt{2}$

Rozwiązanie

$\sqrt{\sqrt{6}-2}\cdot \sqrt{\sqrt{6}+2}=\sqrt{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}=\sqrt{\left(6-4\right)}=\sqrt{2}$

Odp. D

 

Zadanie 4. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F - jeśli jest fałszywe.

Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wartość wyrażenia $\left(x-3\right)\left(x+3\right)-2x$ dla $x=\sqrt{2}+1$ wynosi $4-2\sqrt{2}$.	P	F
Dla każdej liczby rzeczywistej $x$  wyrażenie $4x^2-3$ można przekształcić równoważnie do postaci $\left(2x-\sqrt{3}\right)\left(2x+\sqrt{3}\right)$.	P	F

Rozwiązanie

Zdanie pierwsze

$\left(x-3\right)\left(x+3\right)-2x=x^2-9-2x={\left(\sqrt{2}+1\right)}^2-9-2\left(\sqrt{2}+1\right)=$

$=2+2\sqrt{2}+1-9-2\sqrt{2}-2=-8$

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

$4x^2-3={\left(2x\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\left(2x-\sqrt{3}\right)\left(2x+\sqrt{3}\right)$ 

Zdanie jest prawdziwe.

Odp. F, P

 

Zadanie 5. Dla każdej liczby rzeczywistej $x$ wyrażenie $\left(-3x-2\right)\left(2-3x\right)-{\left(2\sqrt{2}x-6\right)}^2$ można zapisać w postaci

A. $x^2+12x+32$                     B. $x-40$                         C. $3x+32$                       D. $x^2+24\sqrt{2}x-40$

Rozwiązanie

$\left(-3x-2\right)\left(2-3x\right)-{\left(2\sqrt{2}x-6\right)}^2=-\left(3x+2\right)\left(2-3x\right)-{\left(2\sqrt{2}x-6\right)}^2=$

$=-\left(2+3x\right)\left(2-3x\right)-\left(4\cdot 2x^2-2\cdot 2\sqrt{2}x\cdot 6+36\right)=-\left(4-9x^2\right)-\left(8x^2-24\sqrt{2}x+36\right)=$

$=-4+9x^2-8x^2+24\sqrt{2}x-36=x^2+24\sqrt{2}x-40$

Odp. D