Zadanie x. Ze zbioru kolejnych liczb naturalnych $\{50,51,52,\dots ,79,80\}$ losujemy jedną liczbę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez $4$ wynosi:

A.  $\frac{4}{15}$                    B.  $\frac{8}{31}$                    C.  $\frac{1}{4}$                    D.  $\frac{3}{10}$

Rozwiązanie

W zbiorze $\{50,51,52,\dots ,79,80\}$ mamy $80-49=31$ elementów. 

$\left|\Omega \right|=31$

Liczby podzielne przez $4$:

$52,56,60,64,68,72,76,80$

$\left|A\right|=8$

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{8}{31}$

 

---

 

 

Zadanie x. Dany jest sześciokąt foremny $ABCDEF$. Losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki tego sześciokąta. 

dwa zdania x.1 i x.2 w tabeli

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami boku tego sześciokąta wynosi $X$. 

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane wierzchołki będą końcami przekątnej tego sześciokąta wynosi $X$.

A-F

 

---

 

 

Zadanie x. W urnie znajdują się jedynie kule białe i czarne. Stosunek liczby kul białych do czarnych wynosi $5:7$. Losujemy jedną kulę z tej urny. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo wylosowania z tej urny kuli czarnej jest równe:

A.  $\frac{1}{7}$                    B.  $\frac{5}{7}$                    C.  $\frac{1}{12}$                    D.  $\frac{7}{12}$

Rozwiązanie

Liczba kul białych: $5x$

Liczba kul czarnych: $7x$

Liczba wszystkich kul: $5x+7x=12x$

$\left|\Omega \right|=12x$

$A$ - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli czarnej

$\left|A\right|=7x$

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{7x}{12x}=\frac{7}{12}$

 

 

---

 

 

 

Wstęp -> doświadczenie losowe polegające na rzucie kostką do gry

$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$

Zakładamy, że kostka do gry jest symetryczna, czyli szansa uzyskania każdego z tych wyników jest jednakowa.

Jeżeli szansa na uzyskanie każdego wyniku jest taka sama, to mówimy wtedy o prawdopodobieństwie klasycznym.

Definicja/TW o pr kl?

Niech $\Omega$ będzie niepustym skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych, których uzyskanie jest jednakowo prawdopodobne. Niech $A\subset \Omega$ ($A$ jest zdarzeniem w tej przestrzeni). Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A$ wynosi

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$,

gdzie $\left|A\right|$ jest liczbą zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$, natomiast $\left|\Omega \right|$ jest liczbą elementów zbioru $\Omega$.

 

 

---

 

 

Zdarzenia przeciwne (do drugiej lekcji?)

 

Przykład x. Rzucamy czterokrotnie monetą. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że przynajmniej raz wypadł orzeł. 

Rozwiązanie

$\Omega$ - przestrzeń zdarzeń elementarnych

$A$ - zdarzenie polegające na tym, że otrzymano przynajmniej jednego orła w czterech rzutach

$A^{\prime }$ - zdarzenie polegające na tym, że nie wypadnie żaden orzeł (czyli wypadną cztery reszki)

$\left|\Omega \right|=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

$A^{\prime }=\left\{\left(R,R,R,R\right)\right\}$, czyli $\left|A^{\prime }\right|=1$

$P\left(A^{\prime }\right)=\frac{\left|A^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{1}{16}$

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$

Odp.: Prawdopodobieństwo tego, że w czterokrotnym rzucie monetą przynajmniej raz wypadł orzeł wynosi $\frac{15}{16}$.

 

Zadanie x. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką do gry, która na każdej ścianie ma inną liczbę oczek (od jednego do sześciu). 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że przynajmniej raz wypadnie sześć oczek jest równe:

A.  $\frac{11}{36}$                    B.  $\frac{25}{36}$                    C.  $\frac{1}{6}$                    D.  $\frac{5}{6}$

Rozwiązanie

Niech $\Omega$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy

$\left|\Omega \right|=6\cdot 6=36$

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że przynajmniej raz otrzymamy sześć oczek. Wtedy $A^{\prime }$ jest zdarzeniem polegającym na tym, że nie wypadnie żadna szóstka. Mamy:

$\left|A^{\prime }\right|=5\cdot 5=25$

$P\left(A^{\prime }\right)=\frac{\left|A^{\prime }\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{25}{36}$

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$

 

---

Zadanie x. Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowano liczbę podzielną przez $7$ wynosi

A.  $\frac{1}{7}$                    B.  $\frac{13}{90}$                    C.  $\frac{7}{100}$                    D.  $\frac{13}{100}$

Rozwiązanie

Niech $\Omega$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy

$\left|\Omega \right|=9\cdot 10=90$

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że wylosowano liczbę podzielną przez $7$. Mamy:

$A=\left\{14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98\right\}$, czyli $\left|A\right|=13$

$P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{13}{90}$

 

---

 

Zadanie x. Ze zbioru liczb $\{1,4,5,7\}$ losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania.

Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach tak, aby zdania były prawdziwe.

1. Prawdopodobieństwo tego, że suma wylosowanych liczb jest nieparzysta wynosi

2. Prawdopodobieństwo tego, że iloczyn wylosowanych liczb jest większy od $7$ wynosi

3. Prawdopodobieństwo tego, że obie wylosowane liczby są parzyste wynosi

Rozwiązanie

Niech $\Omega$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Wtedy

$\left|\Omega \right|=4\cdot 3=12$

Zdanie pierwsze

Niech $A$ będzie zdarzeniem polegającym na tym, że suma wylosowanych liczb jest nieparzysta.

	$1$	$4$	$5$	$7$
$1$
$4$
$5$
$7$