Własności prawdopodobieństwa

Niech $\Omega$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych na której określono prawdopodobieństwo $P$. Niech $A$, $B\subset \Omega$. Wtedy:

1. $0\le P\left(A\right)\le 1$

2. $P\left(\varnothing \right)=0$  i  $P\left(\Omega \right)=1$

3. $P\left(A\right)\le P\left(B\right)$  dla  $A\subset B$

4. $P\left(A^{\prime }\right)=1-P\left(A\right)$, gdzie $A^{\prime }$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A^{\prime }$

5. $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

(Jak w zadaniach maturalnych może nam się przydać 1. własność?)

Zadanie 2. Niech $A$ będzie zdarzeniem losowym takim, że $P\left(A\right)=7P\left(A^{\prime }\right)$, gdzie $A^{\prime }$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $A$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe

A.  $\frac{1}{7}$                           B. $\frac{6}{7}$                           C.  $\frac{1}{8}$                           D.  $\frac{7}{8}$

Rozwiązanie    

$P\left(A\right)=7P\left(A^{\prime }\right)\to P\left(A^{\prime }\right)=\frac{1}{7}P\left(A\right)$

$P\left(A\right)=1-P\left(A^{\prime }\right)$

$P\left(A\right)=1-\frac{1}{7}P\left(A\right)$

$P\left(A\right)+\frac{1}{7}P\left(A\right)=1$

$\frac{8}{7}P\left(A\right)=1|:\frac{8}{7}$

$P\left(A\right)=\frac{7}{8}$

Zadanie 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczbą, która nie może być prawdopodobieństwem żadnego zdarzenia jest liczba

A.  $\sin 30^{\circ }$                           B. $\mathrm{tg}45^{\circ }$                           C.  ${\log }_{\sqrt{3}}3$                           D.  ${\log }_3\sqrt{3}$

Rozwiązanie

A.  $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

B.  $\mathrm{tg}45^{\circ }=1$

C.  ${\log }_{\sqrt{3}}3=2$, bo ${\left(\sqrt{3}\right)}^2=3$

D.  ${\log }_3\sqrt{3}=\frac{1}{2}$, bo $3^{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$

Zadanie 4. Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami losowymi. Zdarzenie $B^{\prime }$ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia $B$. Wiadomo, że $P\left(A\right)=\frac{3}{10}$ oraz $P\left(B^{\prime }\right)=\frac{2}{5}$. Dodatkowo, $A\cap B=\varnothing$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość $P\left(A\cup B\right)$ jest równa:

A.  $\frac{3}{10}$                           B. $\frac{5}{10}$                           C.  $\frac{7}{10}$                           D.  $\frac{9}{10}$

Rozwiązanie

$P\left(B^{\prime }\right)=1-P\left(B\right)$

$P\left(B\right)=1-P\left(B^{\prime }\right)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$

Skoro $A\cap B=\varnothing$, to $P\left(A\cap B\right)=0$.

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)=\frac{3}{10}+\frac{3}{5}-0=\frac{3}{10}+\frac{6}{10}=\frac{9}{10}$

 

 

Zadanie 3.  Niech $A$ i $B$ będą zdarzeniami losowymi określonymi na przestrzeni $\Omega$. Wiadomo, że $P\left(A\right)=3\cdot P\left(B\right)$ i $P\left(A\cap B\right)=0,2$. Zdarzenie $A\cup B$ jest zdarzeniem pewnym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Różnica $P\left(A\right)-P\left(B\right)$ jest równa:

A.  $0,4$                           B. $0,5$                           C.  $0,6$                           D.  $0,7$

Rozwiązanie

Skoro $A\cup B$ jest zdarzeniem pewnym, to $P\left(A\cup B\right)=1$.

$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

$1=3P\left(B\right)+P\left(B\right)-0,2$

$1,2=4P\left(B\right)|:4$

$P\left(B\right)=0,3$

$P\left(A\right)=3\cdot P\left(B\right)=3\cdot 0,3=0,9$

$P\left(A\right)-P\left(B\right)=0,9-0,3=0,6$