a- Zadanie całość: Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Wyrażenie algebraicznym nazywamy wyrażenie złożone z liter, liczb albo liter i liczb połączonych znakami działań ("czyli pomiędzy nimi może występować dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, pierwiastkowanie lub nawiasy") np. $3 a, (6 y - x)^{2}$ .

Jednomianem nazywamy wyrażenie będące liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter np. $- 12, 6 x^{2} y^{3}$ .

Jednomiany podobne (wyrazy podobne) to jednomiany, które różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym, np. $8 x y^{4}$ i $- \frac{3}{5} x y^{4}$ .

Sumą algebraiczną nazywamy skończona sumę jednomianów np. $a + 2 b, 3 x - 2 y z^{2}$ . Składniki tej sumy nazywamy wyrazami.

"Przypomnimy teraz ze szkoły podstawowej podstawowe działania na wyrażeniach algebraicznych"

Działania na wyrażeniach algebraicznych:

"rozpoczniemy od działań na wielomianach"

Przykład 1. Uprość podane wyrażenia

1) $- 2 x y \cdot (- 3) x^{2} \cdot (- 2 x y)^{2} = - 2 x y \cdot (- 3) x^{2} \cdot 4 x^{2} y^{2} = 24 x^{5} y^{3}$

"przyjrzymy się teraz przykładowi, w którym przed nawiasem stoi jakiś jednomian. Aby pomnożyć ten jednomian przez sumę, należy pomnożyć go z każdym wyrazem tej sumy"

2) $2 x (x - 3) + 6 (- x^{2} + 2 x) = \underline{2 x^{2}} \underline{\underline{- 6 x}} \underline{- 6 x^{2}} \underline{\underline{+ 12 x}} = - 4 x^{2} + 6 x$

"Wyrazami sumy są jednomiany podobne, więc wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. Podkreślimy wyrazy podobne. Pamiętamy, że liczba łączy się ze znakiem stojącym przed więc podkreślamy to ze znakami stojącymi przed daną liczbą"

"zajmijmy sie teraz wyrażeniem, w którym przed nawiasami będą stały znaki plus lub minus"

3) $4 x^{2} + (6 - x) - (- 12 + x^{2}) = \underline{4 x^{2}} \underline{\underline{+ 6}} - x \underline{\underline{+ 12}} \underline{- x^{2}} = 3 x^{2} - x + 18$

"mnożenie sum algebraicznych- każdy wyraz z pierwszej sumy mnożymy przez każdy wyraz z drugiej sumy"

Mnożenie sum algebraicznych

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

4) $(4 x y + 3) (2 - 6 x y) = \underline{8 x y} - 24 x^{2} y^{2} + 3 \underline{- 18 x y} = - 24 x^{2} y^{2} - 10 x y + 3$

"Na końcu zobaczymy jeszcze jak postępować w przypadku ułamków"

5) $\frac{- 6 x y + 4 y ^{2} - 20 x ^{2} y}{2 y} = - \frac{6 x y}{2 y} + \frac{4 y ^{2}}{2 y} - \frac{20 x ^{2} y}{2 y} = - 3 x + 2 y - 10 x^{2}$

Wyłączanie czynnika przed nawias

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias jest działaniem odwrotnym do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

"czyli możemy powiedzieć, że wyciaganie jednomianu przed nawias potraktujemy jak podzielenie wyrażenia przez ten jednomian."

Przykład 2. W podanym niżej wyrażeniu wyłącz czynnik $6 x y$ przed nawias.

$12 x^{2} y + 6 x y - 36 x y^{3} = 6 x y \cdot 2 x + 6 x y \cdot 1 + 6 x y \cdot (- 6 y^{2}) = 6 x y (2 x + 1 - 6 y^{2})$

Zadanie 1. Dane jest wyrażenie $44 x y - (4 x + 8 y) (x + \frac{1}{2}) - 3 (2 x + \frac{2}{3}) (6 y - x)$ .

Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe lub F - jeśli jest fałszywe.

Wyrażenie to można przekształcić równoważnie do wyrażenia $2 (8 y + x^{2})$ .	P	F
Wartość tego wyrażenia dla $x = 2$ i $y = - \frac{1}{2}$ jest liczbą naturalną.	P	F

"Aby obliczyć wartość wyrażenia dla danej liczby należy uprościć wyrażenie i następnie w miejsce liter należy podstawić podane liczby i wykonaj odpowiednie działania."

Rozwiązanie

$44 x y - (4 x + 8 y) (x + \frac{1}{2}) - 3 (2 x + \frac{2}{3}) (6 y - x) = 44 x y - (4 x^{2} + 2 x + 8 x y + 4 y) - 3 (12 x y - 2 x^{2} + 4 y - \frac{2}{3} x) =$

$= \underline{44 x y} \underline{\underline{- 4 x^{2}}} \underline{\underline{\underline{- 2 x}}} \underline{- 8 x y} - 4 y \underline{- 36 x y} \underline{\underline{+ 6 x^{2}}} - 12 y \underline{\underline{\underline{+ 2 x}}} = - 16 y + 2 x^{2}$

Zdanie pierwsze

$- 16 y + 2 x^{2} = 2 (- 8 y + 2 x^{2})$

Zdanie jest fałszywe.

Zdanie drugie

$- 16 y + 2 x^{2} = - 16 \cdot (- \frac{1}{2}) + 2 \cdot (2)^{2} = \frac{16}{2} + 2 \cdot 2 = 8 + 4 = 12 \in N$

Zdanie jest prawdziwe.

Odp. F, P

Zadanie 2. Dane są dwie liczby $a$ i $b$ . Wiadomo, że $\frac{a}{b} = \frac{2 - 3}{3}$ . Oblicza wartość wyrażenia $\frac{2 ( a + b ) - 3 b}{b}$ . Wybierz poprawną odpowiedź spośród podanych.

A. $\frac{3 - 2 3}{3}$ B. $3 - 23$ C. $\frac{1 - 2 3}{3}$ D. $- 23$

Rozwiązanie

$\frac{2 ( a + b ) - 3 b}{b} = \frac{2 a + 2 b - 3 b}{b} = \frac{2 a - b}{b} = \frac{2 a}{b} - \frac{b}{b} = 2 \cdot \frac{a}{b} - 1 =$

$= 2 \cdot \frac{2 - 3}{3} - 1 = \frac{4 - 2 3}{3} - \frac{1}{3} = \frac{4 - 2 3 - 1}{3} = \frac{3 - 2 3}{3}$

Zadanie 3. Uzupełnij poniższe zdanie wpisując w puste miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą.

Jeśli $2 y + 5 x = - \frac{1}{3}$ , to wartość wyrażenia $60 x + 24 y - 6$ wynosi ............ .

Rozwiązanie

$60 x + 24 y - 6 = 12 (5 x + 2 y) - 6 = 12 \cdot (- \frac{1}{3}) - 6 = - 4 - 6 = - 10$

Jeśli $2 y + 5 x = - \frac{1}{3}$ , to wartość wyrażenia $60 x + 24 y - 6$ wynosi .... $- 10$ .... .

Nikola Cziudaj

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.