Zadanie 1. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych , punkty , , i są wierzchołkami pewnego czworokąta . Punkt to punkt przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Oblicz współrzędne punktu .

Rozwiązanie rys. 1.1, potem 1.2

Równanie prostej :

Równanie prostej :

Wyznaczymy punkt przecięcia przekątnych czworokąta :

Odp.: Współrzędne punktu to .

Zadanie 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest trójkąt równoramienny o podstawie , gdzie i . Jedno z ramion tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu .

Oblicz współrzędne wierzchołka . Zapisz obliczenia.

Rozwiązania

Wyznaczymy równanie kierunkowe podanej prostej.

Skoro trójkąt jest równoramienny, to .

Odp. Wierzchołek ma współrzędne .

Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych dany jest równoległobok , którego przekątne przecinają się w punkcie . Bok tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu , a bok zawiera się w prostej o równaniu .

Oblicz współrzędne wierzchołka tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Rozwiązania - rys. wstępny (do zmian) na dysku

Rozpoczniemy od analizy danym w zadaniu i wykonania pomocniczego rysunku.

1) Wyznaczymy współrzędne punktu . Jest to punkt przecięcia prostych zawierających boki i .

Z poprzedniej lekcji pamiętamy, że przekątne w równoległoboku przecinają sie na dwie równe części, więc mozemy powiedzieć, że punkt P jest środkeim odcinka DB. Dzięki temu wyznaczymy współrzędne punktu B.

2) Punkt to środek odcinka . Wyznaczymy współrzędne punku .

Aby zbliżyć się teraz do punktu A możemy wyznaczyć równanie prostej na której leży bok AB. Jest to prosta równoległa do prostej zawierającej bok DC i dodatkowo przechodzi przez punkt B, którego współrzędne przed chwilą wyznaczyliśmy.

3) Wyznaczmy prostą zawierającą bok . Jest ona równoległa do prostej zwierającej bok i dodatkowo przechodzi przez punkt .

Prosta zawierająca bok :

4) Wyznaczymy współrzędne punktu .

Sposób I Możemy wykorzystać fakt, że skoro leży na prostej o równaniu , to .

Punkt leży tez na prostej o równaniu , więc

Sposób II Punkt to punkt wspólny prostych o równaniach: i .

Odp. Punkt ma współrzędne .

to zad do wyrzucenie (prostopadłość)

Zadanie 4. Prosta o równaniu jest symetralną odcinka , gdzie .

Oblicz współrzędne punktu .

Rozwiązanie

Skoro podana prosta jest symetralną odcinka , to prosta przechodząca przez punkty i jest prostopadła do tej symetralnej.

Znajdziemy prostą :

Prosta ta przechodzi przez punkt , więc

Więc prosta opisana jest równaniem: .

Na tej prostej leży też punkt B, więc jeśli pierwszą współrzędną tego punktu oznaczymy np. jako b, to druga współrzędna to b odjąć 4.

Na tej prostej leży też punkt , więc.

Znajdujemy teraz punkt przecięcia prostych o równaniach: i . Puntem tym jest środek odcinka .

Skoro punktu jest środkiem odcinka , więc

Odp.: Współrzędne punktu to