całość - Zadania rozbudowane- Zadanie całość - Zadania rozbudowane: Kurs maturalny z matematyki podstawowej

Rozwiązanie

Zadanie 1. Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ , punkty $A = (- 6, - 3)$ , $B = (6, 1)$ , $C = (4, 17)$ i $D = (- 2, 9)$ są wierzchołkami pewnego czworokąta $A BC D$ . Punkt $P$ to punkt przecięcia przekątnych tego czworokąta.

Oblicz współrzędne punktu $P$ .

Rozwiązanie rys. 1.1, potem 1.2

Równanie prostej $A C$ :

$\underline{- {- 3 = - 6 a + b 17 = 4 a + b}$

$- 20 = - 10 a ∣ : (- 10)$

$a = 2$

${a = 2 - 3 = - 6 \cdot 2 + b$

${a = 2 - 3 = - 12 + b ∣ + 12$

${a = 2 b = 9$

$y = 2 x + 9$

Równanie prostej $B D$ :

$\underline{- {1 = 6 a + b 9 = - 2 a + b}$

$- 8 = 8 a ∣ : 8$

$a = - 1$

${a = - 1 1 = 6 \cdot (- 1) + b$

${a = - 1 1 = - 6 + b ∣ + 6$

${a = - 1 b = 7$

$y = - x + 7$

Wyznaczymy punkt przecięcia przekątnych czworokąta $A BC D$ :

${y = 2 x + 9 y = - x + 7$

$2 x + 9 = - x + 7$

$3 x = - 2$

$x = - \frac{2}{3}$

${x = - \frac{2}{3} y = - (- \frac{2}{3}) + 7$

${x = - \frac{2}{3} y = \frac{2}{3} + 7$

${x = - \frac{2}{3} y = 7 \frac{2}{3}$

$P = (- \frac{2}{3}, 7 \frac{2}{3})$

Odp.: Współrzędne punktu $P$ to $P = (- \frac{2}{3}, 7 \frac{2}{3})$ .

Zadanie 2. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest trójkąt równoramienny $A BC$ o podstawie $A B$ , gdzie $A = (- 10, 5)$ i $B = (2, - 3)$ . Jedno z ramion tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu $19 x - 4 y - 50 = 0$ .

Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ . Zapisz obliczenia.

Rozwiązania

Wyznaczymy równanie kierunkowe podanej prostej.

$19 x - 4 y - 50 = 0$

$4 y = 19 x - 50$

$y = \frac{19}{4} x - \frac{50}{4}$

$y = \frac{19}{4} x - \frac{25}{2}$

$C = (x, \frac{19}{4} x - \frac{25}{2})$

Skoro trójkąt jest równoramienny, to $∣ A C ∣ = ∣ BC ∣$ .

$(x - (- 10))^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{25}{2} - 5)^{2} = (x - 2)^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{25}{2} - (- 3))^{2}$

$(x + 10)^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{25}{2} - \frac{10}{2})^{2} = (x - 2)^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{25}{2} + \frac{6}{3})^{2}$

$(x + 10)^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{35}{2})^{2} = (x - 2)^{2} + (\frac{19}{4} x - \frac{19}{2})^{2}$

$x^{2} + 20 x + 100 + \frac{361}{4} x^{2} - 2 \cdot \frac{19}{4} x \cdot \frac{35}{2} + \frac{1225}{4} = x^{2} - 4 x + 4 + \frac{361}{4} x^{2} - 2 \cdot \frac{19}{4} x \cdot \frac{19}{2} + \frac{361}{4}$

$x^{2} + 20 x + 100 + \frac{361}{4} x^{2} - \frac{665}{4} x + \frac{1225}{4} = x^{2} - 4 x + 4 + \frac{361}{4} x^{2} - \frac{361}{4} x + \frac{361}{4} ∣ - x^{2} - \frac{361}{4} x^{2}$

$20 x + 100 - \frac{665}{4} x + \frac{1225}{4} = - 4 x + 4 - \frac{361}{4} x + \frac{361}{4} ∣ \cdot 4$

$80 x + 400 - 665 x + 1225 = - 16 x + 16 - 361 x + 361$

$1625 - 585 x = 377 - 377 x$

$1625 - 377 = 585 x - 377 x$

$1248 = 208 x ∣ : 208$

$x = 6$

$y = \frac{19}{4 _{2}} \cdot \frac{6 ^{3}}{1} - \frac{25}{2} = \frac{57}{2} - \frac{25}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$C = (6, 16)$

Odp. Wierzchołek $C$ ma współrzędne $C = (6, 16)$ .

Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ dany jest równoległobok $A BC D$ , którego przekątne przecinają się w punkcie $P = (\frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$ . Bok $A D$ tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu $y = - 4 x - 12$ , a bok $C D$ zawiera się w prostej o równaniu $x + 3 y = 8$ .

Oblicz współrzędne wierzchołka $A$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Rozwiązania - rys. wstępny (do zmian) na dysku

Rozpoczniemy od analizy danym w zadaniu i wykonania pomocniczego rysunku.

1) Wyznaczymy współrzędne punktu $D$ . Jest to punkt przecięcia prostych zawierających boki $A D$ i $C D$ .

${y = - 4 x - 12 x + 3 y = 8$

${y = - 4 x - 12 x + 3 (- 4 x - 12) = 8$

$x - 12 x - 36 = 8$

$- 11 x = 44 ∣ : (- 11)$

$x = - 4$

${x = - 4 y = - 4 \cdot (- 4) - 12$

${x = - 4 y = 16 - 12$

${x = - 4 y = 4$

$D = (- 4, 4)$

Z poprzedniej lekcji pamiętamy, że przekątne w równoległoboku przecinają sie na dwie równe części, więc mozemy powiedzieć, że punkt P jest środkeim odcinka DB. Dzięki temu wyznaczymy współrzędne punktu B.

2) Punkt $P$ to środek odcinka $D B$ . Wyznaczymy współrzędne punku $B$ .

$B = (x_{B}, y_{B})$

$\frac{3}{2} = \frac{- 4 + x _{B}}{2}$ $- \frac{3}{2} = \frac{4 + y _{B}}{2}$

$3 = - 4 + x_{B}$ $- 3 = 4 + y_{B}$

$7 = x_{B}$ $- 7 = y_{B}$

$B = (7, - 7)$

Aby zbliżyć się teraz do punktu A możemy wyznaczyć równanie prostej na której leży bok AB. Jest to prosta równoległa do prostej zawierającej bok DC i dodatkowo przechodzi przez punkt B, którego współrzędne przed chwilą wyznaczyliśmy.

3) Wyznaczmy prostą zawierającą bok $A B$ . Jest ona równoległa do prostej zwierającej bok $D C$ i dodatkowo przechodzi przez punkt $B = (7, - 7)$ .

$x + 3 y = 8$

$3 y = - x + 8 ∣ : 3$

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{8}{3}$

Prosta zawierająca bok $A B$ :

$y = - \frac{1}{3} x + b$

$- 7 = - \frac{1}{3} \cdot 7 + b$

$- 7 = - \frac{7}{3} + b$

$- \frac{21}{3} + \frac{7}{3} = b$

$b = - \frac{14}{3}$

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3}$

4) Wyznaczymy współrzędne punktu $A$ .

Sposób I $\to$ Możemy wykorzystać fakt, że skoro $A$ leży na prostej o równaniu $y = - 4 x - 12$ , to $A = (x_{A}, - 4 x_{A} - 12)$ .

Punkt $A$ leży tez na prostej o równaniu $y = - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3}$ , więc

$- 4 x_{A} - 12 = - \frac{1}{3} x_{A} - \frac{14}{3} ∣ \cdot 3$

$- 12 x_{A} - 36 = - x_{A} - 14$

$- 12 x_{A} + x_{A} = 36 - 14$

$- 11 x_{A} = 22 ∣ : (- 11)$

$x_{A} = - 2$

$y_{A} = - 4 x_{A} - 12 = - 4 \cdot (- 2) - 12 = 8 - 12 = - 4$

$A = (- 2, - 4)$

Sposób II $\to$ Punkt $A$ to punkt wspólny prostych o równaniach: $y = - 4 x - 12$ i $y = - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3}$ .

${y = - 4 x - 12 y = - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3}$

$- 4 x - 12 = - \frac{1}{3} x - \frac{14}{3} ∣ \cdot 3$

$12 x - 36 = - x - 14$

$- 11 x = 22$

$x = - 2$

${x = - 2 y = - 4 \cdot (- 2) - 12$

${x = - 2 y = - 4$

$A = (- 2, - 4)$

Odp. Punkt $A$ ma współrzędne $(- 2, - 4)$ .

to zad do wyrzucenie (prostopadłość)

Zadanie 4. Prosta o równaniu $y = - x - 6$ jest symetralną odcinka $A B$ , gdzie $A = (- 7, - 11)$ .

Oblicz współrzędne punktu $B$ .

Rozwiązanie

Skoro podana prosta jest symetralną odcinka $A B$ , to prosta przechodząca przez punkty $A$ i $B$ jest prostopadła do tej symetralnej.

Znajdziemy prostą $A B$ :

$y = 1 x + b$

Prosta ta przechodzi przez punkt $A = (- 7, - 11)$ , więc

$- 11 = - 7 + b ∣ + 7$

$b = - 4$

Więc prosta $A B$ opisana jest równaniem: $y = x - 4$ .

Na tej prostej leży też punkt B, więc jeśli pierwszą współrzędną tego punktu oznaczymy np. jako b, to druga współrzędna to b odjąć 4.

Na tej prostej leży też punkt $B$ , więc $B = (b, b - 4)$ .

Znajdujemy teraz punkt przecięcia prostych o równaniach: $y = x - 4$ i $y = - x - 6$ . Puntem tym jest środek odcinka $A B$ .

$+ \underline{{y = x - 4 y = - x - 6}$

$2 y = - 10$

$y = - 5$

${y = x - 4 y = - 5$

${- 5 = x - 4 y = - 5$

${x = - 1 y = - 5$

$S = (- 1, - 5)$

Skoro punktu $S = (- 1, - 5)$ jest środkiem odcinka $A B$ , więc

$- 1 = \frac{- 7 + b}{2} ∣ \cdot 2$

$- 2 = - 7 + b ∣ + 7$

$5 = b$

$B = (b, b - 4) = (5, 1)$

Odp.: Współrzędne punktu $B$ to $B = (5, 1)$

Nikola Cziudaj

Nauczycielka matematyki

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.