Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $C=\left(-3,2\right)$, $D=\left(7,-10\right)$, a przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P=\left(5,4\right)$.
Oblicz długość boku $AD$ tego równoległoboku. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie $\to$ punkt $P$ to środek odcinka $AC$ i $BD$.

Niech $A=\left(x,y\right)$.

$5=\frac{x-3}{2}$                                                    $4=\frac{y+2}{2}$

$10=x-3$                                                   $8=y+2$

$13=x$                                                          $y=6$ 

$A=\left(13,6\right)$

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(7-13\right)}^2+{\left(-10-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-16\right)}^2}=\sqrt{36+256}=\sqrt{292}=\sqrt{4\cdot 73}=2\sqrt{73}$

Odp.: Długość boku $AD$ tego równoległoboku to $2\sqrt{73}$.