Zadanie 1. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dana jest prosta $k$, która przechodzi przez środek odcinka o końcach w punktach $A=\left(-2,8\right)$ i $B=\left(2,12\right)$ i jest równoległej do prostej $l$ o równaniu $y+x-3=0$.

Wyznacz równanie kierunkowe prostej

Rozwiązanie

$S=\left(\frac{-2+2}{2},\frac{8+12}{2}\right)=\left(0,10\right)$

$l:y+x-3=0$

$y=-x+3$

Równanie prostej $k$:

$y=ax+b$

$y=-1x+b$

$10=-1\cdot 0+b$

$10=b$

$y=-x+10$

Odp.: Prosta $k$ opisana jest równaniem $y=-x+10$.

---

Zadanie 2. Wykaż, że trójkąt $ABC$ o wierzchołkach: $A=\left(-2,-6\right)$, $B=\left(4,2\right)$, $C=\left(-6,-3\right)$ jest prostokątny.

Rozwiązanie

$a_{AB}=\frac{2-\left(-6\right)}{4-\left(-2\right)}=\frac{2+6}{4+2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$ 

 $a_{AC}=\frac{-3-\left(-6\right)}{-6-\left(-2\right)}=\frac{-3+6}{-6+2}=\frac{3}{-4}=-\frac{3}{4}$

$a_{AB}\cdot a_{AC}=\frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)=-1$

Proste $AB$ i $AC$ są prostopadłe, więc trójkąt $ABC$ jest prostokątny, co należało wykazać.

---

Zadanie 3. W kartezjańskim układzie współrzędnych $\left(x,y\right)$ dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $C=\left(-3,2\right)$ i $D=\left(7,-10\right)$, a jego przekątne $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P=\left(5,4\right)$.

Oblicz długość boku $AD$ tego równoległoboku. Zapisz Obliczenia

Rozwiązanie

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie $\to$ punkt $P$ to środek odcinka $AC$ i $BD$.

Jeśli $A=\left(x,y\right)$

$5=\frac{x-3}{2}$                                                  $4=\frac{y+2}{2}$

$10=x-3$                                                 $8=y+2$

$13=x$                                                          $y=6$ 

$A=\left(13,6\right)$

$\left|AD\right|=\sqrt{{\left(7-13\right)}^2+{\left(-10-6\right)}^2}=\sqrt{{\left(-6\right)}^2+{\left(-16\right)}^2}=$

$\sqrt{36+256}=\sqrt{292}=\sqrt{4\cdot 73}=2\sqrt{73}$

 

Żeby wyznaczyć długość odcinka AD przydałyby nam się współrzędne punktu A, bo wtedy będziemy mogli już wyznaczyć szukaną długość. Zastanówmy się więc jak możemy znaleźć współrzędne punkty A mając podane współrzędne dwóch sąsiednich wierzchołków równoległoboku i punkt przecięcia jego przekątnych.

Przypominając sobie własności równoległoboku możemy zauważyć, że jego przekątne przecinają się w połowie, więc możemy z tego wywnioskować, że punkt P jest środkiem odcinka AC i BD.

Oznaczmy teraz współrzędne punkty A przez x i y.

Możemy wtedy wykorzystać informacje odnośnie tego jak wyznacza się środek danego odcinka. Pierwszą współrzędną dostajemy licząc średnią arytmetyczną x-owych współrzędnych końców tego odcinka i analogicznie druga współrzędna środka to średnia arytmetyczna y-owych współrzędnych końców tego odcinka....

Punkt A ma więc współrzędne 13 i 6. Możemy już wyliczyć długość odcinka AD, korzystając ze wzoru który znajdziecie tez w kartach wzorów.

 

po prawej:

Definicja

Równoległobok to czworokąt, którego przeciwległe boki są równoległe.

Podstawowe własności:

• przeciwległe boki są tej samej długości
• przekątne równoległoboku przecinają się w połowie
• przeciwległe kąty mają tę samą miarę, a suma miar kątów przy jednym boku jest równa $180^{\circ }$ 

---

 

Zadanie 4. Przekątne rombu $ABCD$ przecinają się w punkcie $S=\left(\frac{5}{3},1\right)$. Punkty $B$ i $D$ leżą na prostej o równaniu $y=\frac{1}{5}x+\frac{2}{3}$.

Wyznacz równanie prostej $AC$.

Rozwiązanie - rys.2

Prosta $AC$:

$y=ax+b$

1. Jest ona prostopadła do prostej o równaniu $y=\frac{1}{5}x+\frac{2}{3}$, więc $a=-5$.

 $y=-5x+b$

2. Przechodzi ona przez punkt $S=\left(\frac{5}{3},1\right)$.

$1=-5\cdot \frac{5}{3}+b$

$1=-\frac{25}{3}+b$

$1+\frac{25}{3}=b$

$b=\frac{3}{3}+\frac{25}{3}=\frac{28}{3}=9\frac{1}{3}$

$y=-5x+9\frac{1}{3}$

Odp.: Równanie prostej $AC$ to $y=-5x+9\frac{1}{3}$.