Przykład 2. Dany jest trójkąt o bokach długości $3$, $2\sqrt{2}$ i $\sqrt{6}$. Oblicz cosinus największego kąta tego trójkąta i oceń, czy ten trójkąt jest rozwartokątny.

Korzystając z twierdzenia cosinusów, możemy zapisać:

$3^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{6}\right)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}\cdot \cos \alpha$
$9=4\cdot 2+6-4\sqrt{12}\cdot \cos \alpha$

$9=8+6-4\sqrt{4\cdot 3}\cdot \cos \alpha$

$9=14-8\sqrt{3}\cdot \cos \alpha |-14$

$-5=-8\sqrt{3}\cdot \cos \alpha |:(-8\sqrt{3})$

$\cos \alpha =\frac{5}{8\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{8\cdot 3}=\frac{5\sqrt{3}}{24}$

Cosinus największego kąta tego trójkąta jest dodatni, więc kąt ten jest ostry. Możemy zatem stwierdzić, że trójkąt jest ostrokątny.

Odp.: Cosinus największego kąta tego trójkąta wynosi $\frac{5\sqrt{3}}{24}$. Trójkąt nie jest rozwartokątny.