"Okrąg jest opisanym na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na tym okręgu. Możemy też powiedzieć, że trójkąt jest wpisany w okrąg.

Okazuje się, że na każdym trójkącie można opisać okrąg, a środek tego okręgu to punkt przecięcia się symetralnych boków tego trójkąta."

Twierdzenie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

rys.1.1

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$ i $c$ wpisany w okrąg o promieniu $R$.
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: $P=\frac{abc}{4R}$.

Przykład 1. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o bokach długości $10\mathrm{cm}$, $10\mathrm{cm}$, $12\mathrm{cm}$.

rys.

$h^2+6^2=10^2$

$h^2=100-36$

$h^2=64|\sqrt{},h>0$

$h=8$

$P=\frac{12\mathrm{cm}\cdot 8\mathrm{cm}}{2}=48{\mathrm{cm}}^2$

$P=\frac{abc}{4R}$

$P\cdot R=\frac{abc}{4}$

$R=\frac{abc}{4P}$

$R=\frac{10\cdot 10\cdot 12}{4\cdot 48}=\frac{1200}{192}=6,25\left[\mathrm{cm}\right]$

Odp.: Promień okręgu wynosi $6,25\text{cm}$.

---

"Okrąg jest wpisanym w trójkąt, jeżeli wszystkie boki tego trójkąta są styczne do okręgu. Możemy też powiedzieć, że trójkąt jest opisany na okręgu.

Okazuje się, że w każdy trójkąt możemy wpisać okrąg, a jego środkiem będzie punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta."

 

Twierdzenie

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

rys.1.2

 

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości $a$, $b$ i $c$ opisany na okręgu o promieniu $r$.
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: $P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$.

Jeśli $p=\frac{a+b+c}{2}$, to $P=p\cdot r$.

Przykład 2. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o bokach długości $10\mathrm{cm}$, $10\mathrm{cm}$, $12\mathrm{cm}$.

 $P=48{\mathrm{cm}}^2$

$P=\frac{a+b+c}{2}\cdot r$

$2P=\left(a+b+c\right)\cdot r$

$r=\frac{2P}{a+b+c}$

$r=\frac{2\cdot 48}{10+10+12}=\frac{96}{32}=3$

---

Trójkąt równoboczny

Przypomnijmy, że jeśli bok trójkąta równobocznego oznaczymy przez $a$, to jego wysokość wyraża się wzorem $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

rys. 4.1

Twierdzenie

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości $a$ i wysokości $h$.

1. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie to $R=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

2. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to $r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

rys. 4.2 rys. z promieniami i okręgami

 

---

Trójkąt prostokątny

Twierdzenie

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $a$ i $b$ oraz przeciwprostokątnej długości $c$.

1. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie to $R=\frac{1}{2}c$.

2. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to $r=\frac{a+b-c}{2}$.

rys. 5.1 rys. z promieniami i okręgami

 

 

 

---

Zadanie 1. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości $2\sqrt{3}$.

Oblicz pole poła opisanego na tym trójkącie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. $9\pi$                               B. $4\pi$                                C. $\pi$                                D. $12\pi$   

Rozwiązanie

$h=\frac{2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=3$

$R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot 3=2$

$P=\pi \cdot 2^2=4\pi$

---

 Zadanie 2. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $8$ i $15$.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

A. $3$                               B. $8,5$                                C. $9,5$                                D. $17$   

Rozwiązanie

$8^2+15^2=c^2$

$64+225=c^2$

$c^2=289|\sqrt{},c>0$

$c=17$

$2r=17$

$c=\frac{17}{2}=8,5$

---

Zadanie 3. Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny $ABC$ wynosi $5\pi \sqrt{3}$

Dokończ zdanie, wpisując w wykropkowane miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą tak, by zdanie było prawdziwe.

Obwód trójkąta $ABC$ wynosi ............................... .

Rozwiązanie

$5\pi \sqrt{3}=2\pi r|:\pi$

$5\sqrt{3}=2r|:2$

$r=\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{3}h=\frac{5\sqrt{3}}{2}|\cdot 3$

$h=\frac{15\sqrt{3}}{2}$

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{15\sqrt{3}}{2}$

$a\sqrt{3}=15\sqrt{3}|:\sqrt{3}$

$a=15$

$Ob=3\cdot 15=45$

---

Zadanie 4. Dany jest trójkąt o bokach długości $8\mathrm{cm},8\mathrm{cm},12\mathrm{cm}$.

Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ do długości promienia wpisanego w trójkąt $ABC$.

$h^2+6^2=8^2$

$h^2=64-36$

$h^2=28|\sqrt{},h>0$

$h=\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt{7}$

$P=\frac{12\mathrm{cm}\cdot 2\sqrt{7}\text{cm}}{2}=12\sqrt{7}{\text{cm}}^2$

$r=\frac{\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)}{P}=\frac{\frac{1}{2}\left(8+8+12\right)}{12\sqrt{7}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 28}{12\sqrt{7}}=\frac{14}{12\sqrt{7}}=\frac{7}{6\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{7\sqrt{7}}{6\cdot 7}=\frac{\sqrt{7}}{6}$

$R=\frac{abc}{4P}=\frac{8\cdot 8\cdot 12}{4\cdot 12\sqrt{7}}=\frac{16}{\sqrt{7}}\cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=\frac{16\sqrt{7}}{7}$

$\frac{R}{r}=\frac{16\sqrt{7}}{7}:\frac{\sqrt{7}}{6}=\frac{16\sqrt{7}}{7}\cdot \frac{6}{\sqrt{7}}=\frac{96}{7}$