"Okrąg jest opisanym na trójkącie, jeżeli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na tym okręgu. Możemy też powiedzieć, że trójkąt jest wpisany w okrąg.

Okazuje się, że na każdym trójkącie można opisać okrąg, a środek tego okręgu to punkt przecięcia się symetralnych boków tego trójkąta."

Twierdzenie

Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

rys.1.1

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości , i wpisany w okrąg o promieniu .
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: .

Przykład 1. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym o bokach długości , , .

rys.

Odp.: Promień okręgu wynosi .

"Okrąg jest wpisanym w trójkąt, jeżeli wszystkie boki tego trójkąta są styczne do okręgu. Możemy też powiedzieć, że trójkąt jest opisany na okręgu.

Okazuje się, że w każdy trójkąt możemy wpisać okrąg, a jego środkiem będzie punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta."

Twierdzenie

Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, będącym środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

rys.1.2

Twierdzenie

Dany jest trójkąt o bokach długości , i opisany na okręgu o promieniu .
Pole takiego trójkąta opisuje wzór: .

Jeśli , to .

Przykład 2. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o bokach długości , , .

Trójkąt równoboczny

Przypomnijmy, że jeśli bok trójkąta równobocznego oznaczymy przez , to jego wysokość wyraża się wzorem .

rys. 4.1

Twierdzenie

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości i wysokości .

1. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie to .

2. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to .

rys. 4.2 rys. z promieniami i okręgami

Trójkąt prostokątny

Twierdzenie

Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości i oraz przeciwprostokątnej długości .

1. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie to .

2. Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to .

rys. 5.1 rys. z promieniami i okręgami

Zadanie 1. Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości .

Oblicz pole poła opisanego na tym trójkącie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Zadanie 2. Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych i .

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy

A. B. C. D.

Rozwiązanie

Zadanie 3. Długość okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny wynosi

Dokończ zdanie, wpisując w wykropkowane miejsce odpowiednią liczbę rzeczywistą tak, by zdanie było prawdziwe.

Obwód trójkąta wynosi ............................... .

Rozwiązanie

Zadanie 4. Dany jest trójkąt o bokach długości .

Wyznacz stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie do długości promienia wpisanego w trójkąt .