Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$   -  sześcian sumy

---

Założenia:

Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Teza:

Liczba $n^3+2n^2+2n+6$   przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

---

Dowód:

Liczba n jest postaci:

$n=3k+2,\text{gdzie}k\in \mathbb{N}$  

Wtedy:

$n^3+2n^2+2n+6={\left(3k+2\right)}^3+2\cdot {\left(3k+2\right)}^2+2\left(3k+2\right)+6=\dots$  

ze wzorów skróconego mnożenia na sześcian sumy i  kwadrat sumy mamy: