Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwe są następujące wzory: $1.{\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$   -  kwadrat sumy $2.{\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$   - sześcian sumy

---

Założenia:

a i b są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi niepodzielnymi przez 3

Teza:

Reszta z dzielenia przez 3 liczby   $a^3+b^2$   wynosi 2.

---

Dowód:

Z założenia wiemy, że liczby a i b są dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi niepodzielnymi przez 3. Oznacza to, że reszta z dzielenia liczby a przez 3 jest równa 1, a reszta z dzielenia liczby b przez 3 jest równa 2. Liczby a i b możemy zapisać w następującej postaci:

$a=3k+1,b=3k+2,k\in \mathbb{N}$  

Wtedy liczba  a³+b² jest równa:

$a^3+b^2={\left(3k+1\right)}^3+{\left(3k+2\right)}^2=$