O funkcji f wiemy, że...- Zadanie 6.15: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja

Niech funkcja f będzie określona w pewnym sąsiedztwie S(x₀).

Granicą funkcji f w punkcie x₀ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x_n) takiego, że

$x_{n} \in S (x_{0}) i n \to + \infty lim x_{n} = x_{0}$

prawdziwa jest równość

$n \to + \infty lim f (x_{n}) = g$

Wówczas zapisujemy

$x \to x_{0} lim f (x) = g$

Z treści zadania wiadomo, że granica g funkcji f w punkcie 5 istnieje, czyli możemy zapisać, że

$x \to 5 lim f (x) = g$

Weźmy dowolny ciąg argumentów (a_n), którego wyrazy leżą w lewostronnym sąsiedztwie punktu 5 i który jest zbieżny do 5.

Wtedy

$n \to \infty lim f (a_{n}) = g$

z drugiej strony o funkcji f wiadomo, że

$f (x) < 0 dla x < 5$

więc

$f (a_{n}) < 0 dla n \in N_{+}$

(ponieważ wyrazy ciągu (a_n) leżą w lewostronnym sąsiedztwie punktu 5).

Zatem ciąg f(a_n) składa się tylko z wyrazów ujemnych i jego granicą jest liczba g.

Granicą ciągu składającego się tylko z wyrazów ujemnych nie może być liczba dodatnia (ponieważ wtedy gdybyśmy znajdowali się bardzo blisko granicy, nie byłoby tam żadnego wyrazu ciągu, co jest sprzeczne z definicją granicy ciągu), czyli

$g \leq 0$

Weźmy dowolny ciąg argumentów (b_n), którego wyrazy leżą w prawostronnym sąsiedztwie punktu 5 i który jest zbieżny do 5.

Wtedy

$n \to \infty lim f (b_{n}) = g$

z drugiej strony o funkcji f wiadomo, że

$f (x) > 0 dla x > 5$

więc

$f (b_{n}) > 0 dla n \in N_{+}$

(ponieważ wyrazy ciągu (b_n) leżą w prawostronnym sąsiedztwie punktu 5).

Zatem ciąg f(b_n) składa się tylko z wyrazów dodatnich i jego granicą jest liczba g.

Granicą ciągu składającego się tylko z wyrazów dodatnich nie może być liczba ujemna (ponieważ wtedy gdybyśmy znajdowali się bardzo blisko granicy, nie byłoby tam żadnego wyrazu ciągu, co jest sprzeczne z definicją granicy ciągu), czyli

$g \geq 0$

Zatem otrzymujemy, że

$g \leq 0 \land g \geq 0$