Oblicz granice:...- Zadanie 6.11: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Twierdzenie

Jeżeli istnieją granice

$x \to x_{0} lim f (x), x \to x_{0} lim g (x)$

oraz c jest dowolną liczbą rzeczywistą, to następujące granice istnieją $x \to x_{0} lim [c \cdot f (x)], x \to x_{0} lim [f (x) + g (x)], x \to x_{0} lim [f (x) - g (x)], x \to x_{0} lim [f (x) \cdot g (x)], x \to x_{0} lim [\frac{f ( x )}{g ( x )}]$

i są równe

$x \to x_{0} lim [c \cdot f (x)] = c \cdot x \to x_{0} lim f (x)$
$x \to x_{0} lim [f (x) + g (x)] = x \to x_{0} lim f (x) + x \to x_{0} lim g (x)$
$x \to x_{0} lim [f (x) - g (x)] = x \to x_{0} lim f (x) - x \to x_{0} lim g (x)$
$x \to x_{0} lim [f (x) \cdot g (x)] = x \to x_{0} lim f (x) \cdot x \to x_{0} lim g (x)$
$x \to x_{0} lim [\frac{f ( x )}{g ( x )}] = \frac{x \to x _{0} lim f ( x )}{x \to x _{0} lim g ( x )}, gdzie x \to x_{0} lim g (x) \neq = 0$

Twierdzenie

$Je \overset{z}{˙} eli x \to x_{0} lim f (x) = g, gdzie g > 0, to x \to x_{0} lim f (x) = g$

Jeśli x dąży do 0, to wartość wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka dąży do zera.

Przekształcamy ułamek w taki sposób, że mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$2 x + 9 + 3$

i otrzymujemy

$\frac{( 2 x + 9 - 3 ) ( 2 x + 9 + 3 )}{5 x \cdot ( 2 x + 9 + 3 )} = \frac{2 x + 9 ^{2} - 3 ^{2}}{5 x \cdot ( 2 x + 9 + 3 )} = \frac{2 x + 9 - 9}{5 x \cdot ( 2 x + 9 + 3 )} =$

$= \frac{2 x}{5 x \cdot ( 2 x + 9 + 3 )} = \frac{2}{5 ( 2 x + 9 + 3 )}$

(skracanie przez x jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 0, czyli x jest różny od 0)

Zatem mamy

$x \to 0 lim \frac{( 2 x + 9 - 3 )}{5 x} = x \to 0 lim \frac{2}{5 ( 2 x + 9 + 3 )} = \frac{2}{5 ( 0 + 9 + 3 )} = \frac{1}{5 \cdot 3} = \frac{1}{15}$

Jeśli x dąży do 1, to wartość wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka dąży do zera.

Przekształcamy ułamek w taki sposób, że mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$3 x + 1 + 2$

i otrzymujemy

$\frac{( 3 x + 1 - 2 ) ( 3 x + 1 + 2 )}{( x - 1 ) \cdot ( 3 x + 1 + 2 )} = \frac{3 x + 1 ^{2} - 2 ^{2}}{( x - 1 ) \cdot ( 3 x + 1 + 2 )} = \frac{3 x + 1 - 4}{( x - 1 ) \cdot ( 3 x + 1 + 2 )} =$

$= \frac{3 x - 3}{( x - 1 ) \cdot ( 3 x + 1 + 2 )} = \frac{3 ( x - 1 )}{( x - 1 ) \cdot ( 3 x + 1 + 2 )} = \frac{3}{( 3 x + 1 + 2 )}$

(skracanie przez wyrażenie (x - 1) jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 1, czyli x jest różny od 1)

Zatem mamy

$x \to 1 lim \frac{3 x + 1 - 2}{x - 1} = x \to 1 lim \frac{3}{( 3 x + 1 + 2 )} = \frac{3}{3 + 1 + 2} = \frac{3}{4 + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$

Jeśli x dąży do 0, to wartość wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka dąży do zera.

Przekształcamy ułamek w taki sposób, że mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$3 + 9 + x$

i otrzymujemy

$\frac{( 3 - 9 + x ) ( 3 + 9 + x )}{x \cdot ( 3 + 9 + x )} = \frac{3 ^{2} - 9 + x ^{2}}{x \cdot ( 3 + 9 + x )} = \frac{9 - ( 9 + x )}{x \cdot ( 3 + 9 + x )} =$

$= \frac{- x}{x \cdot ( 3 + 9 + x )} = \frac{- 1}{3 + 9 + x}$

(skracanie przez x jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 0, czyli x jest różny od 0)

Zatem mamy

$x \to 0 lim \frac{3 - 9 + x}{x} = x \to 1 lim \frac{- 1}{3 + 9 + x} = \frac{- 1}{3 + 9 + 0} = \frac{- 1}{3 + 9} = \frac{- 1}{3 + 3} = - \frac{1}{6}$

Jeśli x dąży do 0, to wartość wyrażenia w licznikach obu ułamków dąży do zera.

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i dostajemy

$\frac{1}{x ( x + 1 )} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x x + 1} - \frac{x + 1}{x x + 1} = \frac{1 - x + 1}{x x + 1}$

mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$1 + x + 1$

i otrzymujemy

$\frac{( 1 - x + 1 ) ( 1 + x + 1 )}{( x x + 1 ) ( 1 + x + 1 )} = \frac{1 ^{2} - x + 1 ^{2}}{( x x + 1 ) ( 1 + x + 1 )} = \frac{1 - ( x + 1 )}{x x + 1 \cdot ( 1 + x + 1 )} =$

$= \frac{- x}{x x + 1 \cdot ( 1 + x + 1 )} = \frac{- 1}{x + 1 \cdot ( 1 + x + 1 )} = \frac{- 1}{x + 1 + x + 1}$

(skracanie przez x jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 0, czyli x jest różny od 0)

Zatem mamy

$x \to 0 lim \frac{1}{x ( x + 1 )} - \frac{1}{x} = x \to 0 lim \frac{- 1}{x + 1 + x + 1} = \frac{- 1}{0 + 1 + 0 + 1} = - \frac{1}{1 + 1} = - \frac{1}{1 + 1} = - \frac{1}{2}$

Jeśli x dąży do 4, to wartość wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka dąży do zera.

Przekształcamy ułamek w taki sposób, że mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$2 x + 1 + 3$

i otrzymujemy

$\frac{( x - 4 ) ( 2 x + 1 + 3 )}{( 2 x + 1 - 3 ) ( 2 x + 1 + 3 )} = \frac{( x - 4 ) ( 2 x + 1 + 3 )}{2 x + 1 ^{2} - 3 ^{2}} = \frac{( x - 4 ) ( 2 x + 1 + 3 )}{2 x + 1 - 9} =$

$= \frac{( x - 4 ) ( 2 x + 1 + 3 )}{2 x - 8} = \frac{( x - 4 ) ( 2 x + 1 + 3 )}{2 ( x - 4 )} = \frac{2 x + 1 + 3}{2}$

(skracanie przez wyrażenie (x - 4) jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 4, czyli x jest różny od 4)

Zatem mamy

$x \to 4 lim \frac{x - 4}{2 x + 1 - 3} = x \to 4 lim \frac{2 x + 1 + 3}{2} = \frac{2 \cdot 4 + 1 + 3}{2} = \frac{9 + 3}{2} = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Jeśli x dąży do 2, to wartość wyrażenia w liczniku i mianowniku ułamka dąży do zera.

Przekształcamy ułamek w taki sposób, że mnożymy jego licznik i mianownik przez wyrażenie

$7 x + 2 + 5 x + 6$

i otrzymujemy

$\frac{( 3 x - 6 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{( 7 x + 2 - 5 x + 6 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )} = \frac{( 3 x - 6 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{7 x + 2 ^{2} - 5 x + 6 ^{2}} =$

$= \frac{3 ( x - 2 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{7 x + 2 - ( 5 x + 6 )} = \frac{3 ( x - 2 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{2 x - 4} =$

$= \frac{3 ( x - 2 ) ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{2 ( x - 2 )} = \frac{3 ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{2}$

(skracanie przez wyrażenie (x - 2) jest możliwe, ponieważ x należy do sąsiedztwa liczby 2, czyli x jest różny od 2)

Zatem mamy

$x \to 2 lim \frac{3 x - 6}{7 x + 2 - 5 x + 6} = x \to 2 lim \frac{3 ( 7 x + 2 + 5 x + 6 )}{2} = \frac{3 ( 7 \cdot 2 + 2 + 5 \cdot 2 + 6 )}{2} =$

$= \frac{3 \cdot ( 16 + 16 )}{2} = \frac{3 ( 4 + 4 )}{2} = \frac{3 \cdot 8}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Paulina Adamska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Odczytywanie własności funkcji (1)

Premium

12:49

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.